Une probabilité, c'est un nombre qui mesure la chance qu'un événement se produise.
Elle est toujours comprise entre 0 (impossible) et 1 (certain).
P(obtenir 4) = 1/6 ≈ 0,167
On est en situation d'équiprobabilité lorsque toutes les issues ont la même probabilité de se réaliser.
C'est le cas pour :
Dé non truqué Pièce de monnaie équilibrée Tirage au sort Urne avec boules identiques
Une urne contient 5 boules rouges, 3 boules bleues et 2 boules vertes. On tire une boule au hasard.
En situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement A est :
Autrement dit : "Combien de résultats me donnent ce que je veux ?" divisé par "Combien de résultats sont possibles en tout ?"
On lance un dé équilibré à 6 faces. Calculer P(obtenir un nombre pair).
Dans un jeu de 32 cartes, on tire une carte au hasard. Calculer P(obtenir un as).
On tire au hasard une lettre dans le mot MATHEMATIQUES. Calculer P(obtenir une voyelle).
Une classe de 30 élèves. Le tableau suivant donne leur sport préféré :
| Sport | Football | Natation | Tennis | Autre | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Garçons | 8 | 4 | 2 | 1 | 15 |
| Filles | 3 | 6 | 4 | 2 | 15 |
| Total | 11 | 10 | 6 | 3 | 30 |
On choisit un élève au hasard. P(cet élève fait de la natation) = ?
P(cet élève est une fille qui fait du football) = ?
L'événement complémentaire de A (noté Ā, lu "A barre") est l'événement "A ne se réalise pas".
Si j'ai une probabilité de gagner de 0,3, alors ma probabilité de perdre est :
Parce que soit A se réalise, soit il ne se réalise pas. Il n'y a pas d'autre possibilité.
Et on sait que la somme des probabilités de toutes les issues vaut 1. Donc :
Si l'événement A est compliqué à compter mais que son contraire Ā est simple → calcule P(Ā) d'abord, puis déduis P(A).
On lance un dé. Calculer P(ne pas obtenir 6).
Méthode directe : issues favorables = {1,2,3,4,5} → P = 5/6
Méthode complémentaire :
Une urne contient 2 boules rouges et 8 boules bleues. Calculer P(ne pas tirer rouge).
On lance un dé. P(obtenir au moins 2) = ?
"Au moins 2" = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} → 5 issues → P = 5/6
Par le complémentaire : "au moins 2" contraire = "obtenir 1" → P = 1/6 → P(au moins 2) = 1 − 1/6 = 5/6
"Au moins 2" = contraire de "0 ou 1"
"Au plus 3" = contraire de "4 ou plus"
Quand on répète une expérience aléatoire ou qu'on enchaîne plusieurs expériences, on utilise un arbre de probabilités pour lister et calculer toutes les possibilités.
Règle 2 : La somme des branches partant d'un même nœud vaut toujours 1.
Règle 3 : Pour un chemin, on multiplie les probabilités des branches.
Règle 4 : Pour plusieurs chemins favorables, on additionne leurs probabilités.
On lance une pièce équilibrée deux fois. P(Face) = P(Pile) = 1/2.
Lecture de l'arbre :
P(FF) = 1/2 × 1/2 = 1/4 | P(FP) = 1/2 × 1/2 = 1/4 | P(PF) = 1/4 | P(PP) = 1/4
P(au moins une face) = P(FF) + P(FP) + P(PF) = 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4
Par complémentaire : P(au moins une face) = 1 − P(PP) = 1 − 1/4 = 3/4 ✓
Une urne contient 3 boules rouges (R) et 2 boules bleues (B). On tire une boule, puis on lance un dé.
Calculer P(tirer rouge ET obtenir un 6).
Un tableau à double entrée permet d'organiser des données selon deux critères. Au brevet, on te demande souvent d'en déduire des probabilités.
Étape 2 : Repérer les cases qui correspondent à l'événement demandé.
Étape 3 : Appliquer P(A) = cases favorables / total général.
Dans un collège de 200 élèves, on a relevé leur moyen de transport et leur classe :
| Bus | Vélo | À pied | Voiture | TOTAL | |
|---|---|---|---|---|---|
| 4ème | 28 | 12 | 20 | 15 | 75 |
| 3ème | 35 | 18 | 30 | 17 | 100 |
| 5ème | 10 | 5 | 8 | 2 | 25 |
| TOTAL | 73 | 35 | 58 | 34 | 200 |
On choisit un élève au hasard. Calculer :
1) P(l'élève vient à vélo)
2) P(l'élève est en 3ème)
3) P(l'élève est en 3ème ET vient en bus)
4) P(l'élève ne vient pas à pied)
→ P = 18/100 = 9/50
Lire l'énoncé très attentivement : "parmi tous les élèves" → dénominateur = total général. "Parmi les élèves de 3ème" → dénominateur = total de la ligne 3ème.
La fréquence est ce qu'on observe réellement après avoir réalisé l'expérience un certain nombre de fois.
La probabilité est la valeur théorique que la fréquence tend à atteindre quand on répète l'expérience un très grand nombre de fois.
Clique sur le bouton pour simuler des lancers de dé et observer comment la fréquence se rapproche de la probabilité théorique (1/6 ≈ 0,167 pour chaque face).
On lance un dé à 6 faces équilibré. Calculer P(obtenir 3). Donner la réponse sous forme de fraction irréductible.
P(3) = 1/6
On lance un dé à 6 faces équilibré. Calculer P(obtenir un nombre pair).
Total : 6 issues
P(pair) = 3/6 = 1/2
Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules noires. On tire une boule au hasard. Calculer P(tirer une boule rouge).
P(rouge) = 4/10 = 2/5
On lance un dé à 6 faces. P(obtenir 1) = 1/6. Calculer P(ne pas obtenir 1).
On lance une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir Face ?
P(Face) = 1/2
On tire au hasard une lettre dans le mot PROBABILITE. Calculer P(obtenir une voyelle). (Attention : compter toutes les lettres, y compris les répétitions)
Voyelles : O, A, I, I, E → 5 voyelles... attention : O=1, A=1, I=2, E=1 = 6 voyelles ? Recounted: P(1),R(2),O(3),B(4),A(5),B(6),I(7),L(8),I(9),T(10),E(11) → voyelles = O,A,I,I,E = 5 voyelles.
Hmm : PROBABILITE = P-R-O-B-A-B-I-L-I-T-E → Voyelles : O, A, I, I, E = 5 voyelles sur 11 lettres.
P(voyelle) = 5/11. Si ta réponse était 5/11, c'est correct !
Une urne contient des boules rouges, bleues et vertes. P(rouge) = 0,3 et P(bleue) = 0,5. Calculer P(verte).
P(verte) = 1 − P(rouge) − P(bleue) = 1 − 0,3 − 0,5 = 0,2
On lance un dé à 6 faces. Calculer P(obtenir un nombre strictement supérieur à 4).
P = 2/6 = 1/3
Dans une classe de 25 élèves : 10 font de la natation, 8 font du football, 7 font autre chose. On choisit un élève au hasard. Calculer P(cet élève fait du football). Donner le résultat sous forme décimale.
P(football) = 8/25 = 0,32
Une urne contient 12 boules : 5 jaunes, 3 vertes, et des bleues. P(tirer bleu) = ?
Puis calculer P(ne pas tirer bleu).
P(bleu) = 4/12 = 1/3
P(pas bleu) = 1 − 1/3 = 2/3
Une urne contient uniquement des boules rouges. On tire une boule au hasard. Quelle est P(tirer une boule rouge) ?
C'est un événement certain → P = 1.
Dans un jeu de 32 cartes, on tire une carte au hasard. Calculer P(obtenir un As ou un Roi). (Il y a 4 As et 4 Rois dans un jeu.)
Total : 32 cartes.
P(As ou Roi) = 8/32 = 1/4
Une urne contient des boules rouges et des boules bleues. P(rouge) = 3/8. Si l'urne contient 16 boules au total, combien y a-t-il de boules rouges ?
Nombre de rouges = 16 × 3/8 = 48/8 = 6 boules rouges
Dans un groupe de 40 personnes : 18 hommes et 22 femmes. 12 hommes et 14 femmes ont un animal de compagnie. On choisit une personne au hasard. Calculer P(cette personne a un animal de compagnie).
Total : 40
P(animal) = 26/40 = 13/20
Laquelle de ces affirmations est VRAIE ?
— La somme des probabilités de toutes les issues vaut TOUJOURS 1. ✓ C'est la bonne réponse.
— P(A) = 0 signifie que A est IMPOSSIBLE (jamais "très peu probable").
On lance un dé à 6 faces. Calculer P(obtenir un multiple de 3).
P(multiple de 3) = 2/6 = 1/3
On lance un dé. P(obtenir au moins 3) = ? Utilise la méthode du complémentaire.
P(moins que 3) = 2/6 = 1/3
P(au moins 3) = 1 − 1/3 = 2/3
On lance un dé 600 fois. Combien de fois peut-on s'attendre à obtenir un 6 ?
On lance une pièce 1000 fois et on obtient Face 512 fois. La fréquence d'apparition de Face est-elle égale à sa probabilité théorique ?
On lance un dé équilibré à 8 faces (numérotées de 1 à 8). Calculer P(obtenir un nombre impair).
Total : 8 faces.
P(impair) = 4/8 = 1/2
Une urne contient 3 boules rouges (R) et 2 boules bleues (B). On tire une boule, on la remet, puis on tire une autre. Calculer P(tirer deux boules rouges).
P(R) = 3/5 à chaque tirage.
P(RR) = 3/5 × 3/5 = 9/25
Même urne que l'exercice #21 (3R, 2B, avec remise). Calculer P(obtenir au moins une boule rouge en 2 tirages). Utilise le complémentaire.
P(B) = 2/5. P(BB) = 2/5 × 2/5 = 4/25.
P(au moins une rouge) = 1 − 4/25 = 21/25
Un sondage auprès de 120 personnes donne :
— Droitiers : 80 hommes, 30 femmes
— Gauchers : 5 hommes, 5 femmes
On choisit une personne au hasard. Calculer P(cette personne est une femme gauchère).
P(femme gauchère) = 5/120 = 1/24
Une roue de fortune a 4 secteurs : rouge, bleu, vert, jaune. P(rouge) = 1/4, P(bleu) = 1/3, P(vert) = 1/6. Calculer P(jaune).
= 1 − 3/12 − 4/12 − 2/12 = 1 − 9/12 = 3/12 = 1/4
On lance une pièce équilibrée 3 fois. Calculer P(obtenir exactement 2 faces).
Aide : liste toutes les issues possibles (FFF, FFP, FPF, FPP, PFF, PFP, PPF, PPP).
Issues avec exactement 2 faces : FFP, FPF, PFF → 3 issues.
P(exactement 2 faces) = 3/8
On lance un dé 300 fois. Combien de fois environ peut-on s'attendre à obtenir un nombre strictement supérieur à 4 ?
Effectif attendu = 300 × 1/3 = 100 fois
On lance une pièce puis un dé à 6 faces. Calculer P(obtenir Face ET un nombre pair).
P(Face ET pair) = 1/2 × 1/2 = 1/4
On forme au hasard un nombre de 2 chiffres avec les chiffres {1, 2, 3, 4, 5} (sans répétition). Combien de nombres peut-on former ? Calculer P(le nombre est supérieur à 30).
Nombres > 30 : ceux qui commencent par 3, 4 ou 5.
→ 3 premiers chiffres possibles × 4 seconds = 12 nombres.
P(>30) = 12/20 = 3/5
Un groupe de 50 élèves : 22 filles et 28 garçons. 15 filles et 20 garçons mangent à la cantine. On choisit un élève au hasard. Calculer P(l'élève ne mange PAS à la cantine).
Ne mangent pas : 50 − 35 = 15 élèves.
P(pas cantine) = 15/50 = 3/10
Par complémentaire : P(cantine) = 35/50 = 7/10 → P(pas cantine) = 1 − 7/10 = 3/10 ✓
Une urne contient 4 boules rouges et 3 boules bleues. On tire deux boules successivement SANS remise. Calculer P(tirer 2 boules rouges).
Aide : après le premier tirage, l'urne a changé !
2ème tirage (sans remise) : il reste 3 rouges sur 6 boules. P(rouge) = 3/6 = 1/2.
P(RR) = 4/7 × 1/2 = 4/14 = 2/7
On a lancé un dé 1200 fois. On observe que la face 6 est sortie 215 fois. La probabilité théorique P(6) = 1/6 ≈ 0,167. La fréquence observée est-elle cohérente avec la probabilité théorique ?
Ces valeurs sont proches. La loi des grands nombres n'impose pas une égalité exacte, seulement un rapprochement.
Conclusion : le résultat est cohérent avec la probabilité théorique.
Une usine produit 500 pièces par jour. En moyenne, 15 sont défectueuses. On prélève une pièce au hasard. Calculer P(la pièce est défectueuse), puis P(la pièce est conforme).
P(conforme) = 1 − 3/100 = 97/100 = 0,97
Dans un jeu de 52 cartes, on tire une carte au hasard. Calculer P(obtenir un cœur ou un as).
Il y a 13 cœurs et 4 as dans un jeu de 52 cartes. L'as de cœur appartient aux deux catégories.
Issues favorables = 13 + 4 − 1 = 16 cartes.
P(cœur ou as) = 16/52 = 4/13
Une classe de 3ème comporte 15 filles et 12 garçons. Parmi les filles, 9 ont choisi l'option musique. Parmi les garçons, 4 ont choisi l'option musique.
1) Compléter le tableau. 2) Un élève est choisi au hasard. Calculer P(élève option musique).
Total élèves = ?
Élèves option musique = 9 + 4 = 13.
P(musique) = 13/27
Tableau :
| Musique | Pas musique | Total
Filles | 9 | 6 | 15
Garçons | 4 | 8 | 12
Total | 13 | 14 | 27
Un sac contient 10 jetons numérotés de 1 à 10. On tire un jeton au hasard.
A = "obtenir un multiple de 3"
B = "obtenir un nombre pair"
Calculer P(A), P(B), puis P(l'événement Ā).
Nombres pairs : {2, 4, 6, 8, 10} → P(B) = 5/10 = 1/2
Ā = "ne pas obtenir de multiple de 3" = {1,2,4,5,7,8,10} → 7 issues.
P(Ā) = 1 − P(A) = 1 − 3/10 = 7/10
| Concept | Définition | Formule / exemple |
|---|---|---|
| Probabilité | Mesure la chance qu'un événement se produise | P(A) = favorables / total |
| Événement certain | Se réalise toujours | P = 1 |
| Événement impossible | Ne se réalise jamais | P = 0 |
| Complémentaire | Événement contraire | P(Ā) = 1 − P(A) |
| Indépendance (arbre) | Le résultat de l'un n'influence pas l'autre | P(A et B) = P(A) × P(B) |
| Loi des grands nombres | Fréquence → probabilité quand n → ∞ | Fréquence ≠ probabilité mais se rapproche |