Qu'est-ce qu'un triangle rectangle ?

Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit (90°). Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse — c'est toujours le plus grand côté.

Hypoténuse
Côté en face de l'angle droit. Noté c. C'est le plus long.
Côtés de l'angle droit
Les deux autres côtés. Notés a et b.
Angle droit
Angle de 90°, symbolisé par un petit carré dans le triangle.
Symbole ⊾
Le petit carré au sommet indique que l'angle est droit.
△ABC rectangle en C — hypoténuse AB
Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

AB² = AC² + BC²
Calculer l'hypoténuse
1
On sait que le triangle est rectangle en C → AB² = AC² + BC²
2
On remplace par les valeurs : AC = 3 cm, BC = 4 cm → AB² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
3
On prend la racine carrée : AB = √25 = 5 cm
Calculer un côté qui n'est pas l'hypoténuse
1
Si AB = 13 et AC = 5 → BC² = AB² − AC² = 169 − 25 = 144
2
BC = √144 = 12 cm
Réciproque de Pythagore

La réciproque permet de vérifier si un triangle est rectangle.

Si c² = a² + b² alors le triangle rectangle

Si le carré du plus grand côté = somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle.

Méthode
Toujours tester avec le plus grand côté au carré d'un côté.
1
Identifier le plus grand côté (ex : 10)
2
Calculer 10² = 100, et 6² + 8² = 36 + 64 = 100 ✓
3
100 = 100 donc le triangle est rectangle
Contraposée de Pythagore

La contraposée permet de prouver qu'un triangle n'est pas rectangle.

Si c² ≠ a² + b² alors le triangle n'est pas rectangle

Si on teste et que les deux membres sont différents, alors le triangle n'est pas rectangle.

⚠ Attention
Ne pas oublié de citer la contraposé de pythagore lorsque vous répondez à une question.
1
Grand côté = 7 : 7² = 49
2
5² + 4² = 25 + 16 = 41
3
49 ≠ 41 → le triangle n'est pas rectangle
Rédaction d'un exercice au brevt

Au brevet, la rédaction est notée. Voici le plan type :

1
Hypothèse : "Le triangle ABC est rectangle en C." (donné dans l'énoncé)
2
Application du théorème : "D'après le théorème de Pythagore : AB² = AC² + BC²"
3
Calcul : "AB² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100"
4
Conclusion : "Donc AB = √100 = 10 cm"
✓ Pour la réciproque
"Le plus grand côté est AB = 10 cm. Or 10² = 100 et 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Les deux membres sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C."
Configuration de Thalès

Le théorème de Thalès s'applique dans une configuration précise. Il faut deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles.

Configuration "papillon"
Deux demi-droites issues d'un même point S, coupées par deux parallèles.
Configuration "triangle"
Une droite coupe deux côtés d'un triangle et est parallèle au troisième.
Points alignés
S, A, A' sont alignés / S, B, B' sont alignés.
S sommet, (AB) ∥ (A'B') — configuration Thalès
Théorème de Thalès

Voici la méthode : Petite longeur / Grande longeur (ou l'inverse). Il faut aussi faire attention à garder le meme ordre partout. Avec la configuartion ci-dessus voila la formule :

SA/SA' = SB/SB' = AB/A'B'
Ce que ça signifie
Les longueurs sont proportionnelles. Si on connaît 3 valeurs sur 4, on peut trouver la 4ème par une règle de trois (produit en croix).
Exemple concret

SA = 4, SA' = 6, SB = 5. Trouver SB'.

1
On écrit le rapport : SA/SA' = SB/SB'
2
On remplace : 4/6 = 5/SB'
3
Produit en croix : SB' = (5 × 6) / 4 = 30/4 = 7,5
Configuration "Papillon"

Dans la configuration papillon, le point S est entre les deux parallèles. Les points sont dans l'ordre S, A', A (et S, B', B). Les rapports restent les mêmes mais attention à l'ordre !

SA/SA' = SB/SB' = AB/A'B'
Configuration papillon : S est entre les deux parallèles (AB) et (A'B')
⚠ Différence clé avec la config classique
Dans la config classique, S est à l'extérieur (avant AB et A'B'). Dans la config papillon, S est au croisement entre les deux parallèles. Les rapports sont les mêmes, mais l'ordre des points sur chaque droite est inversé : S est entre A et A' (et entre B et B').
💡 Astuce visuelle
Ça ressemble à un papillon car les deux triangles SAB et SA'B' se croisent en S, formant une figure en X.
Réciproque de Thalès

La réciproque permet de prouver que deux droites sont parallèles.

SA/SA' = SB/SB' ⟹ (AB) ∥ (A'B')

Si les rapports sont égaux et que les points sont bien alignés (S, A, A' et S, B, B'), alors les droites sont parallèles.

1
Calculer SA/SA' = 4/6 = 2/3
2
Calculer SB/SB' = 6/9 = 2/3
3
2/3 = 2/3 → S, A, A' et S, B, B' alignés → (AB) ∥ (A'B')
Erreurs classiques
⚠ Vérifier l'alignement !
S, A, A' doivent être alignés dans cet ordre (ou S, A', A). Même chose pour S, B, B'. Si l'ordre n'est pas respecté, la configuration est fausse.
⚠ Ne pas confondre les rapports
SA/SA' = SB/SB' et pas SA/SB = SA'/SB'. Toujours comparer des longueurs sur la même droite.
💡 Conseil
Faire un schéma légendé avant de commencer. Identifier clairement le point S et les deux parallèles.
Rédaction
1
Points alignés : "Les points S, A, A' sont alignés d'une part et les points S, B, B' sont alignés d'autre part."
2
Parallèles : "De plus, (AB) est parallèle à (A'B')"
3
Application : "Or, d'après le théorème de Thalès : SA/SA' = SB/SB' = AB/A'B'"
4
Calcul + conclusion : Produit en croix puis donner la valeur cherchée avec son unité. Et conclure avec : Donc SA = ? ou (AB) et (A'B') sont parallèles.
Introduction : les côtés selon l'angle

Dans un triangle rectangle, les noms des côtés dépendent de l'angle étudié. Pour un angle α :

Adjacent
Le côté qui "touche" l'angle α (mais pas l'hypoténuse).
Opposé
Le côté "en face" de l'angle α.
Hypoténuse
Toujours en face de l'angle droit — jamais un côté de l'angle α.
Côtés Adjacent / Opposé / Hypoténuse par rapport à α
Les 3 formules — CAH SOH TOA

Il est recommandé de noter ce moyen mnémotechnique sur le brouillon dès le début de l'épreuve.

cos α
Adjacent
Hypoténuse
CAH
sin α
Opposé
Hypoténuse
SOH
tan α
Opposé
Adjacent
TOA
CAH — SOH — TOA
💡 Moyen mnémotechnique
Cos = Adjacent / Hyp → CAH  |  Sin = Opposé / Hyp → SOH  |  Tan = Opposé / Adj → TOA
Déterminer un angle inconnu

Démarche en 2 étapes :

1
Identifier les côtés disponibles par rapport à l'angle recherché. Si l'hypoténuse et l'adjacent sont connus, on utilise le cosinus (CAH).
2
Appliquer la formule, puis calculer l'arc correspondant (arccos, arcsin ou arctan) pour obtenir la valeur de l'angle.
Exemple

Hypoténuse = 6, Adjacent = 4 :

cos(angle) = 4/6 ≈ 0,667
3
Pour passer du cos, sin ou tan vers la valeur d'un angle en degré, voir : Utiliser la calculatrice
Déterminer un côté inconnu

La démarche est identique : identifier l'angle et les côtés connus, puis appliquer la formule adaptée. Deux cas se présentent selon la position du côté inconnu dans la fraction.

Cas 1 — Le côté inconnu est au dénominateur
Ex
cos(35°) = 4 / H  →  H est l'hypoténuse (inconnue), 4 est l'adjacent.
→
H = 4 / cos(35°) — lorsque l'inconnue est au dénominateur, on divise le numérateur par le ratio.
H = Adjacent / cos(35°) = 4 / 0,819 ≈ 4,88
Cas 2 — Le côté inconnu est au numérateur
Ex
cos(35°) = Adj / 6  →  l'hypoténuse (6) est connue, l'adjacent est à trouver.
→
Adj = 6 × cos(35°) — lorsque l'inconnue est au numérateur, on multiplie le dénominateur par le ratio.
Adjacent = Hyp × cos(35°) = 6 × 0,819 ≈ 4,91
✓ À retenir
Côté inconnu au dénominateur (en bas) → on divise.
Côté inconnu au numérateur (en haut) → on multiplie.
Remarque
La maîtrise de ces deux cas s'acquiert principalement par la pratique des exercices.
Utiliser la calculatrice

Pour obtenir le cosinus, le sinus ou la tangente d'un angle :

Calculer la valeur du ratio
Saisir cos(35) puis EXE → la calculatrice renvoie un nombre (compris entre 0 et 1).
Retrouver la valeur en degré d'un angle à partir du ratio
Lorsque la valeur du cos, sin ou tan est connue et que l'on cherche l'angle correspondant :
Saisir arccos(0,7) ou cos⁻¹(0,7) → la calculatrice renvoie l'angle en degrés.
Sur la calculatrice : touche SHIFT/SECONDE + cos / sin / tan.
💡 Conseil : utiliser REP
Lors du calcul de l'arc (arccos, arcsin, arctan), il est conseillé d'utiliser la touche REP (ou ANS) pour récupérer le résultat précédent au lieu de le ressaisir manuellement. Cela évite les erreurs d'arrondi intermédiaires.
⚠ Mode DEGRÉ
Vérifier que la calculatrice est réglée en mode DEG (degrés) et non en RAD ou GRAD.
Rédiger une preuve complète
⚠ La rédaction compte au brevet
Ne jamais écrire cos A = AC/AB sans avoir dit avant que A est l'angle étudié et que le triangle est rectangle. Mets toujours les conditions avant le calcul.
1
Contexte : "Le triangle ABC est rectangle en C"
2
Formule :J'utilise le cosinus/sinus/tangente (La trigonométries sont des outils, non des formules, alors on n'applique pas, on utilise)
3
Calcul + conclusion : "cos(A) = 6/10 = 0,6 → A = arccos(0,6) ≈ 53,1°"
Les 5 transformations du brevet
↔
Symétrie axiale
Réflexion par rapport à une droite
⊙
Symétrie centrale
½ tour autour d'un point
→
Translation
Déplacement sans rotation
↻
Rotation
Tour autour d'un point d'un angle donné
⤢
Homothétie
Agrandissement/réduction depuis un centre
✓ Propriété commune aux 4 isométries (sauf homothétie)
Symétrie axiale, symétrie centrale, translation et rotation conservent les distances, les angles et l'aire. L'homothétie conserve les angles et la forme, mais pas les distances.
Symétrie axiale

Axe de symétrie (d) : la droite par rapport à laquelle on effectue la réflexion.

M' est le symétrique de M par rapport à (d)
1
Tracer la perpendiculaire à (d) passant par M
2
Mesurer la distance de M à l'axe
3
Reporter la même distance de l'autre côté → point M'
Propriétés
• (d) est la médiatrice de [MM']
• MM' ⊥ (d)
• Le milieu de [MM'] ∈ (d)
Axe de symétrie d'une figure
Une figure a un axe de symétrie si elle est identique de part et d'autre de cet axe.
Symétrie centrale

Centre de symétrie O : le point par rapport auquel on effectue le ½ tour.

O est le milieu de [MM']
1
Tracer la droite (OM)
2
Reporter OA = OM de l'autre côté de O → point M'
Propriétés
• O milieu de [MM']
• OM = OM'
• MM' passe par O
Figures à centre de symétrie
Cercle, parallélogramme, losange, rectangle, carré, etc.
Translation

La translation est le fait de transformer un point en un autre : "Par la translation de A en B" .

"Contruire la figure A'B'C'D' par la translation de A en A'" Par ex.
1
Déterminer la position de chaque point de la figure par rapport à A. (Sur l'axe des abcisses et des ordonnés)
2
Reproduisé les points avec les memes distances, mais cette fois par rapport au point A'.
3
On obtient donc la même figure, à un different endroit. (Ne pas oublié le "prime '" sur les lettres de la nouvelle figure)
Propriétés
Les longeurs sont les mêmes, les angles ont les mêmes valeurs, la figure ne s'est pas retourné, les figures sont superpossables.
Rotation

Pour faire une rotation, on a besoin de savoir : Le centre (le point O), L'angle : De combien de degrés on tourne. Le sens : (sens horaire ou anti-horraire)

1
On relie le point qu'on veut rotater au centre O.
2
On utilise notre rapporteur. Et on reporte avec l'angle qu'on nous demande. (Attention à ne pas se tromper de sens)
Rotation de 90°
Un quart de tour. Sens trigo = anti-horaire.
Rotation de 180°
Un demi-tour. Équivalent à une symétrie centrale !
Homothétie

L'homothétie est une transformation qui agrandit ou réduit une figure depuis un centre O, avec un rapport k.

OM' = k × OM
Centre O
Point fixe de la transformation. Tous les agrandissements partent de O.
Rapport k
Facteur d'agrandissement. k > 1 = agrandissement, 0 < k < 1 = réduction, k < 0 = retournement.
k = 2
La figure image est 2× plus grande. OM' = 2 × OM.
k = −1
Équivalent à une symétrie centrale de centre O.
1
Repérer le centre O et le rapport k dans l'énoncé.
2
Pour chaque point M, placer M' sur la droite (OM) tel que OM' = k × OM (même sens si k > 0, sens opposé si k < 0).
3
Relier tous les points images pour tracer la figure image.
⚠ Homothétie ≠ isométrie
Contrairement aux 4 autres transformations, l'homothétie ne conserve pas les distances (sauf si k = ±1). Elle conserve les angles et les formes, mais pas la taille.
✓ Lien avec Thalès
L'homothétie et le théorème de Thalès sont très liés : dans une configuration de Thalès, les triangles SAB et SA'B' sont en fait des images l'un de l'autre par une homothétie de centre S et de rapport SA'/SA.
Progression 0 / 27
Niveau Facile
EX. 01 Calcul d'hypoténuse (3-4-5) Facile ›
Le triangle ABC est rectangle en C, avec AC = 3 cm et BC = 4 cm.
Calculer la longueur AB.
💡 Utilise le théorème de Pythagore : AB² = AC² + BC²
CORRIGÉ
ABC rectangle en C → AB² = AC² + BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
Donc AB = √25 = 5 cm
EX. 02 Calcul d'un côté de l'angle droit Facile ›
Le triangle DEF est rectangle en F, avec DE = 13 cm et DF = 5 cm.
Calculer la longueur EF.
💡 EF² = DE² − DF²
CORRIGÉ
DEF rectangle en F → DE est l'hypoténuse → EF² = DE² − DF² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
Donc EF = √144 = 12 cm
EX. 03 Le triangle est-il rectangle ? Facile ›
Un triangle a pour côtés : 8 cm, 15 cm et 17 cm.
Ce triangle est-il rectangle ? Quel serait l'angle droit ?
💡 Teste 17² et 8² + 15²
CORRIGÉ
Plus grand côté = 17. On calcule : 17² = 289 et 8² + 15² = 64 + 225 = 289.
289 = 289 → d'après la réciproque de Pythagore, le triangle est rectangle, l'angle droit étant en face du côté 17 cm.
EX. 04 Rapport trigonométrique (sin) Facile ›
Dans le triangle ABC rectangle en C, on donne sin(A) = 0,6.
Si AB = 10 cm, calculer BC (côté opposé à A). (en cm)
💡 sin(A) = BC/AB donc BC = AB × sin(A)
CORRIGÉ
sin(A) = BC/AB → BC = AB × sin(A) = 10 × 0,6 = 6 cm
Niveau Moyen
EX. 06 Application de Thalès — trouver une longueur Moyen ›
CONTEXTE
S, A, A' sont alignés dans cet ordre. S, B, B' sont alignés dans cet ordre.
(AB) ∥ (A'B'), SA = 6, SA' = 9, SB = 8.
Calculer SB'. (arrondir au centième)
💡 Thalès : SA/SA' = SB/SB' → produit en croix
CORRIGÉ
D'après Thalès : SA/SA' = SB/SB' → 6/9 = 8/SB' → SB' = (8 × 9)/6 = 72/6 = 12
EX. 07 Trouver un angle avec la trigo Moyen ›
Le triangle PQR est rectangle en R, avec PQ = 20 cm et QR = 12 cm.
Calculer l'angle en Q, arrondi au degré près.
💡 Par rapport à Q : PQ est hyp, QR est adj. Quel ratio ?
CORRIGÉ
Par rapport à Q : PQ = hyp, QR = adj → cos(Q) = QR/PQ = 12/20 = 0,6
Angle Q = cos⁻¹(0,6) ≈ 53°
EX. 09 Hauteur d'un poteau (trigo) Moyen ›
CONTEXTE
Un poteau est vertical. Un observateur se trouve à 10 m de la base du poteau. L'angle d'élévation jusqu'au sommet est de 35°.
Calculer la hauteur du poteau (arrondi au centième de mètre).
💡 tan(35°) = hauteur / distance → h = 10 × tan(35°) ≈ 10 × 0,7002
CORRIGÉ
tan(35°) = h/10 → h = 10 × tan(35°) = 10 × 0,7002 ≈ 7,00 m
EX. 10 Symétrique d'un point Moyen ›
CONTEXTE
Le point A a pour coordonnées (2 ; 5). O est l'origine du repère (0 ; 0).
Donner les coordonnées du symétrique A' de A par rapport à O.
CORRIGÉ
La symétrie centrale de centre O = origine : A'(−xₐ ; −yₐ) = A'(−2 ; −5). Réponse B.
Niveau Difficile
EX. 11 Démonstration complète — Thalès + réciproque Difficile ›
CONTEXTE
Dans un triangle SAB, M est un point sur [SA] tel que SM = 4, SA = 10.
N est un point sur [SB] tel que SN = 6, SB = 15.
1) Montrer que (MN) est parallèle à (AB).
2) Si AB = 12 cm, calculer MN.
💡 Réciproque de Thalès pour la 1re partie, puis Thalès direct pour la 2e.
CORRIGÉ
1) Réciproque de Thalès :
Les points S, M, A sont alignés dans cet ordre (M sur [SA]).
Les points S, N, B sont alignés dans cet ordre (N sur [SB]).
SM/SA = 4/10 = 2/5  et  SN/SB = 6/15 = 2/5
Les deux rapports sont égaux → d'après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) est parallèle à (AB).

2) Théorème de Thalès :
D'après Thalès (car (MN)∥(AB)) : SM/SA = MN/AB
2/5 = MN/12 → MN = 12 × 2/5 = 24/5 = 4,8 cm
EX. 12 Problème de géométrie mixte Difficile ›
CONTEXTE
Un triangle ABC est rectangle en C. AC = 9 cm, l'angle en A = 40°.
1) Calculer BC (arrondi au centième).
2) Calculer AB (arrondi au centième).
3) Vérifier par Pythagore que vos valeurs sont cohérentes.
💡 Utilise tan pour BC, puis cos pour AB. tan(40°)≈0,839 ; cos(40°)≈0,766
CORRIGÉ
1) BC : Par rapport à A → AC est adjacent, BC est opposé.
tan(40°) = BC/AC → BC = AC × tan(40°) = 9 × 0,839 ≈ 7,55 cm

2) AB : Par rapport à A → AC est adjacent, AB est hypoténuse.
cos(40°) = AC/AB → AB = AC / cos(40°) = 9 / 0,766 ≈ 11,75 cm

3) Vérification Pythagore :
AB² = 11,75² ≈ 138,06
AC² + BC² = 9² + 7,55² = 81 + 57,00 = 138,00 ≈ 138,06 ✓ (légère différence due aux arrondis)