1 — Qu'est-ce qu'une fonction ?
Définition fondamentale

Une fonction est un processus mathématique qui associe à chaque nombre x (qu'on appelle la variable) un seul et unique résultat.

f : x ↦ f(x)

On dit que f est une fonction, et que f(x) est "l'image de x par f".

⚡ Analogie
Une fonction, c'est comme une machine : on glisse un nombre dans l'entrée (x), et une seule valeur sort de la machine (f(x)). La même entrée donne TOUJOURS la même sortie.
Vocabulaire fondamental
Antécédent
Le x qu'on donne en entrée. Ce qu'on connaît.
Image
Le f(x) qu'on obtient en sortie. Ce qu'on cherche.
f(x)
Se lit "f de x". C'est l'image de x par f.
Variable
Le x, le nombre qui peut changer de valeur.
Domaine de f
L'ensemble des x acceptés par f (au brevet : souvent tous les réels).
Repère (O, x, y)
Axes perpendiculaires avec une origine O pour représenter f.
⚠ Piège n°1 du brevet
"Calcule l'image de 3" → tu calcules f(3). "Trouve l'antécédent de 5" → tu résous f(x) = 5. Ne jamais confondre les deux !
Calculer une image — méthode

Soit f(x) = 2x + 3. Calcule l'image de 4.

1
On remplace x par 4 dans l'expression : f(4) = 2 × 4 + 3
2
On calcule : = 8 + 3 = 11
3
Conclusion : L'image de 4 par f est 11, et l'antécédent de 11 par f est 4.
⚡ Remarque
On peut aussi noter : f(4) = 11, ce qui se lit "f de 4 égale 11".
Trouver un antécédent — méthode

Soit f(x) = 2x + 3. Quel est l'antécédent de 11 par f ?

1
On pose l'équation : f(x) = 11, soit 2x + 3 = 11
2
On résout : 2x = 11 − 3 = 8
3
x = 8 ÷ 2 = 4
4
Conclusion : L'antécédent de 11 par f est 4.
Un antécédent peut ne pas exister, ou il peut y en avoir plusieurs selon la fonction (par exemple pour une parabole). Pour une droite, il y en a exactement 1 (sauf si a = 0).
2 — Tableau de valeurs
Construire un tableau de valeurs

Pour f(x) = 3x − 1, on calcule f(x) pour plusieurs valeurs de x :

x−2−10123
f(x) −7−4−1258

Détail des calculs :

f(−2) = 3×(−2) − 1 = −6 − 1 = −7  |  f(0) = 0 − 1 = −1  |  f(3) = 9 − 1 = 8

Représentation de f(x) = 3x − 1 dans le repère
📐 Comment tracer la droite
On place au moins 2 points du tableau dans le repère, puis on les relie avec une RÈGLE. Au brevet, toujours utiliser une règle.
Lire un graphique
→
Lire l'image de x = 3 : depuis x = 3 sur l'axe horizontal, monter verticalement jusqu'à la courbe, puis lire la valeur sur l'axe y. C'est f(3).
←
Lire l'antécédent de y = 5 : depuis y = 5 sur l'axe vertical, aller horizontalement jusqu'à la courbe, puis lire la valeur sur l'axe x. C'est l'antécédent.
⚠ Lecture graphique
Au brevet, la lecture graphique doit être précise. Si l'échelle est 1 carreau = 0,5, fais bien attention ! Prends des points sur des intersections de la grille pour être sûr.
3 — Fonction linéaire f(x) = ax
Définition et propriétés
f(x) = ax    (a ≠ 0)

a est le coefficient directeur (aussi appelé "pente" ou "taux de variation").

✓
Le graphique est une droite qui passe toujours par l'origine (0 ; 0).
✓
Si a > 0 → la droite est croissante (monte de gauche à droite).
✓
Si a < 0 → la droite est décroissante (descend de gauche à droite).
✓
Plus |a| est grand, plus la droite est inclinée.
⚠ Règle absolue
Une fonction linéaire PASSE TOUJOURS PAR (0;0). Si la droite ne passe pas par l'origine, ce n'est pas une fonction linéaire, c'est une fonction affine.
Trouver a depuis un graphique

Si la droite linéaire passe par l'origine et par un point (x ; y) :

a = y ÷ x    (avec x ≠ 0)

Exemple 1 : la droite passe par (3 ; 6) → a = 6 ÷ 3 = 2 → f(x) = 2x

Exemple 2 : la droite passe par (4 ; −8) → a = −8 ÷ 4 = −2 → f(x) = −2x

Prendre le point graphique avec les coordonnées entières les plus faciles à lire sur la grille.
Lien avec la proportionnalité

Une fonction linéaire modélise une situation de proportionnalité.

y = ax  ⟺  y est proportionnel à x avec coefficient a

Exemple : Le prix P d'un produit vendu 3€ l'unité : P(x) = 3x. Pour 7 unités, P(7) = 21€.

Quantité x014710
Prix P (€)03122130
4 — Fonction affine f(x) = ax + b
Définition et paramètres
f(x) = ax + b
a = coefficient directeur
Détermine la pente (inclinaison) de la droite. a > 0 → monte. a < 0 → descend.
b = ordonnée à l'origine
Point où la droite coupe l'axe y. f(0) = b, donc le point (0 ; b) est sur la droite.
💡 Cas particuliers
Si b = 0 → f(x) = ax → fonction linéaire (cas particulier d'affine).
Si a = 0 → f(x) = b → droite horizontale, fonction constante.
Tracer une droite affine — méthode complète

Pour tracer f(x) = 2x + 1 :

1
Calcule f(0) = 2×0 + 1 = 1 → Point A(0 ; 1) — c'est l'ordonnée à l'origine
2
Calcule f(2) = 2×2 + 1 = 5 → Point B(2 ; 5)
3
Place les deux points A et B dans le repère avec précision
4
Trace la droite avec une règle en passant exactement par A et B
5
Prolonge la droite dans les deux sens (mettre des flèches aux extrémités)
⚠ Vérification obligatoire
Calcule un 3ème point (ex : f(4) = 9) et vérifie qu'il est bien sur ta droite. Si non, tu as fait une erreur.
Trouver a et b depuis 2 points

On connaît deux points de la droite : A(x₁ ; y₁) et B(x₂ ; y₂).

a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

Puis on trouve b avec : b = y₁ − a × x₁ (ou utilise f(0) si l'axe y est visible).

Exemple : la droite passe par (1 ; 5) et (3 ; 11).

1
a = (11 − 5) ÷ (3 − 1) = 6 ÷ 2 = 3
2
b = 5 − 3 × 1 = 5 − 3 = 2
3
Donc f(x) = 3x + 2 ✓ (vérif : f(3) = 9+2 = 11 ✓)
5 — Taux de variation
Définition et formule

Le taux de variation de f entre x₁ et x₂ mesure de combien f(x) varie en moyenne par unité de x :

(f(x₂) − f(x₁)) ÷ (x₂ − x₁)
💡 Propriété clé
Pour une fonction affine f(x) = ax + b, le taux de variation est toujours égal à a, quelle que soient les valeurs x₁ et x₂ choisies. C'est la définition même d'une droite.

Exemple : f(x) = 3x − 2. Taux de variation entre x₁ = 1 et x₂ = 4 :

(f(4) − f(1)) ÷ (4 − 1) = (10 − 1) ÷ 3 = 9 ÷ 3 = 3 = a ✓

Pour une courbe non-linéaire, le taux de variation change selon les valeurs choisies. C'est ce qui distingue une droite d'une courbe.
6 — Équation f(x) = k
Résoudre f(x) = k

Résoudre f(x) = k signifie trouver le (ou les) antécédents de k par f.

Exemple : f(x) = 4x − 3. Résous f(x) = 9.

1
On écrit : 4x − 3 = 9
2
On isole x : 4x = 9 + 3 = 12
3
x = 12 ÷ 4 = 3

→ L'antécédent de 9 par f est 3. Sur le graphique, c'est le point (3 ; 9) de la droite.

Droite et axe des abscisses — racine

La racine (ou zéro) d'une fonction affine est la valeur de x pour laquelle f(x) = 0.

C'est l'abscisse du point d'intersection avec l'axe des x.

f(x) = 0  ⟺  ax + b = 0  ⟺  x = −b/a

Exemple : f(x) = 2x − 6. f(x) = 0 → 2x − 6 = 0 → 2x = 6 → x = 3.

La droite coupe l'axe des x au point (3 ; 0).

Fonction linéaire — Rappel complet
f(x) = ax    (a ≠ 0)

a = coefficient directeur (= pente = taux de variation)

✓
Graphique = droite passant par (0 ; 0) obligatoirement
↑
a > 0 → droite croissante (monte)
↓
a < 0 → droite décroissante (descend)
≡
Si on connaît un point (x ; y) sur la droite : a = y ÷ x
⚠ Règle absolue — brevet
Une fonction linéaire PASSE TOUJOURS PAR (0 ; 0). Si la droite ne passe pas par l'origine, c'est une fonction AFFINE, pas linéaire.
Graphique interactif — f(x) = ax
a =
2
f(x) = 2x — passe par (0 ; 0)
La droite monte car a = 2 > 0
Propriété de proportionnalité

Pour une fonction linéaire f(x) = ax :

f(k × x) = k × f(x)

Exemple : f(x) = 5x. On sait que f(3) = 15.

→ f(6) = f(2×3) = 2 × f(3) = 2 × 15 = 30

→ f(9) = f(3×3) = 3 × 15 = 45

x−3−10136
f(x)=5x−15−5051530
Le point (0 ; 0) est toujours dans le tableau → signature de la fonction linéaire.
Trouver le coefficient a

Méthode 1 : si on connaît un point (x₀ ; y₀) avec x₀ ≠ 0 :

a = y₀ ÷ x₀

Méthode 2 : si on sait que f est linéaire et f(k) = m :

a = m ÷ k

Exemple : f est linéaire et f(4) = −12 → a = −12 ÷ 4 = −3 → f(x) = −3x

Fonction affine — Rappel complet
f(x) = ax + b
a = coefficient directeur
Pente. Si a > 0 → croissante. Si a < 0 → décroissante. Si a = 0 → constante.
b = ordonnée à l'origine
La droite coupe l'axe y au point (0 ; b). On lit directement b sur le graphique.
La fonction linéaire f(x) = ax est un cas particulier d'affine avec b = 0.
Graphique interactif — f(x) = ax + b
a =
1
b =
2
f(x) = x + 2
■ f(x) = ax+b
■ point (0 ; b)
Droites parallèles et sécantes
∥
Droites parallèles : même coefficient directeur a, mais b différent. Ex : f(x) = 2x + 1 et g(x) = 2x − 3 sont parallèles car a = 2 pour les deux.
×
Droites sécantes : coefficients directeurs différents. Elles se coupent en un seul point. Ex : f(x) = 2x + 1 et g(x) = x + 3.
Deux droites sont parallèles ⟺ même coefficient a
Trouver a et b depuis le graphique
1
b : lire l'ordonnée à l'origine (où la droite coupe l'axe y). Valeur lue directement.
2
Identifier un 2ème point (x₂ ; y₂) clairement sur la droite.
3
a = (y₂ − b) ÷ x₂ ou a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) avec deux points quelconques.

Exemple : La droite coupe l'axe y en (0 ; −2) et passe par (3 ; 4).

b = −2  |  a = (4 − (−2)) ÷ 3 = 6 ÷ 3 = 2  |  Donc f(x) = 2x − 2

Sens de variation d'une fonction

On dit qu'une fonction est :

📈 Croissante
Quand x augmente, f(x) augmente aussi. La droite monte de gauche à droite.
📉 Décroissante
Quand x augmente, f(x) diminue. La droite descend de gauche à droite.
f croissante ⟺ a > 0
f décroissante ⟺ a < 0
Pour une fonction affine f(x) = ax + b, c'est uniquement le signe de a qui détermine si f est croissante ou décroissante. b n'a aucun effet sur le sens de variation.
Graphique interactif — sens de variation
a =
2
b =
0
f(x) = 2x
📈 a = 2 > 0 → f est CROISSANTE
Tableau de valeurs et variation

Pour f(x) = −2x + 5 (a = −2 < 0 → décroissante) :

x−2−10123
f(x)97531−1

On vérifie : quand x passe de −2 à 3, f(x) passe de 9 à −1 : il diminue. ✓

⚠ Piège
Ne pas confondre "la fonction croît" (f(x) augmente quand x augmente) avec "f(x) est positif". Une fonction peut être positive et décroissante en même temps.
Tableau de variation — comment le construire

Pour f(x) = 3x − 1 sur [−2 ; 4] :

a = 3 > 0 donc f est croissante sur tout son domaine.

x −2 4
f(x) = 3x−1 f(−2) = −7
↗
 f(4) = 11

Pour g(x) = −x + 2 sur [−3 ; 3] :

a = −1 < 0 donc g est décroissante sur tout son domaine.

x −3 3
g(x) = −x+2 g(−3) = 5
↘
 g(3) = −1
Dans un tableau de variation : si f est croissante, la plus petite valeur est à gauche et la plus grande à droite. C'est l'inverse si f est décroissante.
Maximum et minimum sur un intervalle

Sur un intervalle [a ; b], pour une fonction affine :

↑
Si f est croissante : minimum = f(a), maximum = f(b)
↓
Si f est décroissante : minimum = f(b), maximum = f(a)

Exemple : f(x) = 2x − 4 sur [−1 ; 5].

a = 2 > 0 → f croissante. Min = f(−1) = −6. Max = f(5) = 6.

Comparaison des fonctions
■f(x) = 2x (linéaire)
■g(x) = x + 2 (affine)
■h(x) = x² (quadratique)
Lire les coordonnées — Clique sur le graphique !

Clique sur la droite jaune pour lire les coordonnées d'un point :

Clique sur le graphique pour lire un point →
Exercice de lecture graphique

La droite affichée a pour équation f(x) = 1,5x − 1.

?
f(2) = 1,5×2 − 1 = 2
?
Antécédent de 2 : 1,5x − 1 = 2 → 1,5x = 3 → x = 2
?
f(0) = −1 → la droite coupe l'axe y en (0 ; −1)
Intersection de deux droites

L'intersection de deux droites f et g est le point où elles se croisent. En ce point, f(x) = g(x).

Résoudre f(x) = g(x) pour trouver l'abscisse du point d'intersection

Puis calculer l'ordonnée en substituant x trouvé dans f(x) (ou g(x), c'est la même valeur).

Méthode algébrique — exemple complet

f(x) = 2x + 1 et g(x) = x + 3. Trouver le point d'intersection.

1
On pose : 2x + 1 = x + 3
2
On isole x : 2x − x = 3 − 1 → x = 2
3
On calcule l'ordonnée : f(2) = 2×2 + 1 = 5
4
Vérification : g(2) = 2 + 3 = 5 ✓
✓
Le point d'intersection est (2 ; 5).
Graphique interactif — intersection
■ f(x) = 2x + 1
■ g(x) = x + 3
● Intersection en (2 ; 5)
Comparer deux fonctions : f(x) > g(x)

Après avoir trouvé l'intersection en x = x₀, on peut comparer f et g de chaque côté.

Exemple : f(x) = 2x + 1 et g(x) = x + 3. Intersection en x = 2.

?
Pour x = 0 : f(0) = 1, g(0) = 3 → g > f → g(x) > f(x) pour x < 2
?
Pour x = 4 : f(4) = 9, g(4) = 7 → f > g → f(x) > g(x) pour x > 2
En regardant les coefficients directeurs : f a a = 2, g a a = 1. Comme 2 > 1, f "monte plus vite" que g, donc f dépasse g à partir de x = 2.
Autre exemple — tarifs téléphoniques
🧩 Contexte
Forfait A : 0,10€/min + 5€ d'abonnement → A(t) = 0,1t + 5
Forfait B : 0,05€/min + 8€ d'abonnement → B(t) = 0,05t + 8

À partir de combien de minutes le forfait A est-il moins cher ?

1
On cherche t tel que A(t) = B(t) : 0,1t + 5 = 0,05t + 8
2
0,05t = 3 → t = 60 minutes
3
Pour t > 60 : A(70) = 12€ < B(70) = 11,5€... vérifier : A(70) = 7+5=12, B(70) = 3,5+8=11,5. Donc B est moins cher au-delà de 60 min.
Pourquoi les problèmes concrets ?

Au brevet, les fonctions sont souvent présentées dans un contexte réel (tarifs, vitesse, distance, prix, températures...). Il faut savoir :

1
Identifier la variable x et la fonction f(x)
2
Traduire le texte en formule mathématique
3
Répondre aux questions avec des calculs et des conclusions en français
Problème 1 — Location de vélos
🚲 Énoncé
Une boutique loue des vélos. L'abonnement coûte 10 € et chaque heure de location coûte 4 €.

Q1 : Exprimer le coût total C en fonction du nombre d'heures h.

C(h) = 4h + 10

Q2 : Combien coûte 3 heures de location ?

C(3) = 4×3 + 10 = 12 + 10 = 22 €

Q3 : Pour quel nombre d'heures le coût atteint-il 50 € ?

→
4h + 10 = 50 → 4h = 40 → h = 10 heures
Problème 2 — Deux sociétés de taxi
🚕 Énoncé
Taxi A : 2 € par km + 5 € de prise en charge → A(d) = 2d + 5
Taxi B : 3 € par km + 2 € de prise en charge → B(d) = 3d + 2

Q1 : Prix pour 4 km avec chaque taxi.

A(4) = 8 + 5 = 13 €  |  B(4) = 12 + 2 = 14 € → Taxi A moins cher

Q2 : À partir de combien de km Taxi B devient moins cher ?

→
A(d) = B(d) → 2d + 5 = 3d + 2 → 3 = d → d = 3 km
✓
Pour d > 3 km : Taxi A est moins cher. Pour d < 3 km : Taxi B est moins cher.
Problème 3 — Piscine qui se vide
🏊 Énoncé
Une piscine contient 600 litres. On la vide au rythme de 30 litres par minute.

Q1 : Modéliser le volume V(t) en fonction du temps t (en minutes).

V(t) = 600 − 30t  (a = −30, b = 600)

Q2 : Volume restant après 8 minutes.

V(8) = 600 − 240 = 360 litres

Q3 : En combien de temps la piscine sera-t-elle vide ?

→
V(t) = 0 → 600 − 30t = 0 → 30t = 600 → t = 20 minutes

Q4 : La fonction est-elle croissante ou décroissante ? Pourquoi ?

a = −30 < 0 → V est décroissante : le volume diminue au fur et à mesure que le temps augmente. ✓
Problème 4 — Économies
💰 Énoncé
Lucas a 50 € d'économies. Il économise 15 € par semaine.

Q1 : Modéliser E(n) le montant d'économies après n semaines.

E(n) = 15n + 50

Q2 : Après combien de semaines Lucas aura-t-il 200 € ?

→
15n + 50 = 200 → 15n = 150 → n = 10 semaines

Q3 : Tom a 120 € et économise 5 € par semaine. T(n) = 5n + 120. À quelle semaine ont-ils la même somme ?

→
E(n) = T(n) → 15n + 50 = 5n + 120 → 10n = 70 → n = 7 semaines
Problème 5 — Thermomètre Celsius / Fahrenheit
🌡 Énoncé
La conversion Celsius → Fahrenheit est : F(C) = (9/5) × C + 32

Q1 : Convertir 20°C en Fahrenheit.

F(20) = (9/5)×20 + 32 = 36 + 32 = 68°F

Q2 : À quelle température Celsius correspond 32°F ?

→
(9/5)×C + 32 = 32 → (9/5)×C = 0 → C = 0°C

Q3 : Quelle température est identique en Celsius et Fahrenheit ?

→
F(C) = C → (9/5)C + 32 = C → 32 = C − (9/5)C = −(4/5)C → C = −40°
Progression — 50 exercices
Exercices réussis 0 / 50
■ Facile (1-15)   ■ Moyen (16-35)   ■ Expert (36-50)
Niveau Facile — Calculer des images
Facile Calculer une image #01 ›
Soit f(x) = 4x − 3.
Calcule f(5).
Remplace x par 5 dans la formule.
CORRIGÉ
f(5) = 4×5 − 3 = 20 − 3 = 17
Facile Image de 0 #02 ›
Soit g(x) = −2x + 7.
Calcule g(0).
Quand x = 0, le terme en x disparaît. f(0) = b toujours.
CORRIGÉ
g(0) = −2×0 + 7 = 0 + 7 = 7
Facile Fonction linéaire #03 ›
f est une fonction linéaire telle que f(x) = 3x.
Calcule f(−4).
CORRIGÉ
f(−4) = 3×(−4) = −12
Facile Calcul direct #04 ›
Soit f(x) = 5x − 2.
Calcule f(2).
CORRIGÉ
f(2) = 5×2 − 2 = 10 − 2 = 8
Facile x négatif #05 ›
Soit f(x) = −3x + 1.
Calcule f(−1).
Attention : −3 × (−1) = +3 (moins × moins = plus)
CORRIGÉ
f(−1) = −3×(−1) + 1 = +3 + 1 = 4
Facile Image d'un entier #06 ›
Soit f(x) = x + 8.
Calcule f(6).
CORRIGÉ
f(6) = 6 + 8 = 14
Facile Linéaire simple #07 ›
Soit f(x) = 2x.
Calcule f(7).
CORRIGÉ
f(7) = 2×7 = 14
Facile Coefficient négatif #08 ›
Soit f(x) = −4x.
Calcule f(3).
CORRIGÉ
f(3) = −4×3 = −12
Facile Image de 0 (b négatif) #09 ›
Soit f(x) = 6x − 5.
Calcule f(0).
CORRIGÉ
f(0) = 6×0 − 5 = 0 − 5 = −5
Facile Décroissante #10 ›
Soit f(x) = −x + 10.
Calcule f(4).
−1 × 4 = −4
CORRIGÉ
f(4) = −1×4 + 10 = −4 + 10 = 6
Facile Coefficient décimal #11 ›
Soit f(x) = 0,5x + 3.
Calcule f(8).
0,5 × 8 = 4
CORRIGÉ
f(8) = 0,5×8 + 3 = 4 + 3 = 7
Facile Image = 0 #12 ›
Soit f(x) = 3x − 6.
Calcule f(2).
CORRIGÉ
f(2) = 3×2 − 6 = 6 − 6 = 0 (x=2 est la racine de f !)
Facile Deux négatifs #13 ›
Soit f(x) = −2x + 5.
Calcule f(−3).
−2 × (−3) = +6
CORRIGÉ
f(−3) = −2×(−3) + 5 = +6 + 5 = 11
Facile Image négative #14 ›
Soit f(x) = 4x + 1.
Calcule f(−2).
CORRIGÉ
f(−2) = 4×(−2) + 1 = −8 + 1 = −7
Facile Calcul pour x = 1 #15 ›
Soit f(x) = 7x − 4.
Calcule f(1).
CORRIGÉ
f(1) = 7×1 − 4 = 7 − 4 = 3
Niveau Moyen — Antécédents, coefficients, taux de variation
Moyen Trouver l'antécédent #16 ›
f(x) = 2x + 1.
Quel est l'antécédent de 9 par f ?
(résoudre : f(x) = 9)
Pose l'équation 2x + 1 = 9, puis résous-la.
CORRIGÉ
2x + 1 = 9 → 2x = 8 → x = 4
Moyen Trouver le coefficient a #17 ›
Une fonction linéaire f(x) = ax passe par le point (5 ; 15).
Quelle est la valeur de a ?
f(5) = 15 → a × 5 = 15 → a = ?
CORRIGÉ
a×5 = 15 → a = 15 ÷ 5 = 3
Moyen Taux de variation #18 ›
f(x) = 3x − 2.
Calcule le taux de variation de f entre x₁ = 1 et x₂ = 4.
Taux = (f(x₂) − f(x₁)) ÷ (x₂ − x₁)
CORRIGÉ
f(1)=1, f(4)=10 → (10−1)÷(4−1) = 9÷3 = 3 (= a ✓)
Moyen Coefficient directeur graphique #19 ›
La droite passe par (0 ; −1) et (2 ; 3).
Trouve a (le coefficient directeur) :
a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
CORRIGÉ
a = (3−(−1)) ÷ (2−0) = 4 ÷ 2 = 2 → f(x) = 2x − 1
Moyen Tableau de valeurs #20 ›
f(x) = −x + 4.
Quelle est la valeur de f(−2) ?
CORRIGÉ
f(−2) = −(−2) + 4 = +2 + 4 = 6
Moyen Antécédent de 7 #21 ›
f(x) = 5x − 3.
Quel est l'antécédent de 7 par f ?
Résous 5x − 3 = 7
CORRIGÉ
5x − 3 = 7 → 5x = 10 → x = 2
Moyen Trouver a depuis deux images #22 ›
f(x) = ax + b, avec f(0) = −2 et f(1) = 1.
Quelle est la valeur de a ?
f(0) = b, donc b = −2. Puis f(1) = a + b = 1.
CORRIGÉ
b = −2. a + (−2) = 1 → a = 3 → f(x) = 3x − 2
Moyen Coefficient directeur négatif #23 ›
f(x) = ax + b, avec f(0) = 4 et f(2) = 0.
Quelle est la valeur de a ?
b = 4. f(2) = 2a + 4 = 0 → 2a = ?
CORRIGÉ
b = 4. 2a + 4 = 0 → 2a = −4 → a = −2 → f(x) = −2x + 4
Moyen Racine de la fonction #24 ›
f(x) = 2x − 6.
Pour quelle valeur de x a-t-on f(x) = 0 ?
Résous l'équation 2x − 6 = 0
CORRIGÉ
2x − 6 = 0 → 2x = 6 → x = 3 (la droite coupe l'axe des x en (3;0))
Moyen Zéro de la fonction décroissante #25 ›
f(x) = −3x + 9.
Pour quelle valeur de x a-t-on f(x) = 0 ?
CORRIGÉ
−3x + 9 = 0 → −3x = −9 → x = 3
Moyen Taux de variation négatif #26 ›
f(x) = −2x + 5.
Calcule le taux de variation de f entre x = 0 et x = 3.
CORRIGÉ
f(0)=5, f(3)=−1 → (−1−5)÷3 = −6÷3 = −2 = a ✓
Moyen Antécédent d'un négatif #27 ›
f(x) = 4x + 1.
Quel est l'antécédent de −3 par f ?
4x + 1 = −3
CORRIGÉ
4x + 1 = −3 → 4x = −4 → x = −1
Moyen Coefficient depuis 2 points #28 ›
Une droite passe par (1 ; 3) et (3 ; 7).
Quel est son coefficient directeur ?
a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
CORRIGÉ
a = (7−3) ÷ (3−1) = 4 ÷ 2 = 2
Moyen Pente décroissante depuis 2 points #29 ›
Une droite passe par (0 ; 5) et (2 ; 1).
Quel est son coefficient directeur ?
CORRIGÉ
a = (1−5) ÷ (2−0) = −4 ÷ 2 = −2
Moyen Proportionnalité — extrapoler #30 ›
f est une fonction linéaire et f(3) = 12.
Quelle est la valeur de f(7) ?
Trouve d'abord a depuis f(3) = 12. Ensuite calcule f(7).
CORRIGÉ
a = 12÷3 = 4 → f(x) = 4x → f(7) = 4×7 = 28
Moyen Trouver b #31 ›
f(x) = 2x + b et f(3) = 11.
Quelle est la valeur de b ?
f(3) = 2×3 + b = 11 → 6 + b = 11
CORRIGÉ
2×3 + b = 11 → 6 + b = 11 → b = 5
Moyen Trouver a (avec b connu) #32 ›
f(x) = ax − 4 et f(2) = 2.
Quelle est la valeur de a ?
f(2) = 2a − 4 = 2
CORRIGÉ
2a − 4 = 2 → 2a = 6 → a = 3
Moyen Antécédent de 0 #33 ›
f(x) = −2x + 8.
Quel est l'antécédent de 0 par f ?
(c'est-à-dire : pour quelle valeur de x f(x) = 0 ?)
CORRIGÉ
−2x + 8 = 0 → −2x = −8 → x = 4
Moyen Valeur sur un intervalle #34 ›
f(x) = 3x + 1.
Quelle est la valeur de f(−2) ?
CORRIGÉ
f(−2) = 3×(−2) + 1 = −6 + 1 = −5
Moyen Extrapolation linéaire #35 ›
f est une fonction linéaire et f(−3) = 12.
Quelle est la valeur de f(5) ?
Trouve a : a = 12 ÷ (−3). Puis calcule f(5) = a × 5.
CORRIGÉ
a = 12÷(−3) = −4 → f(5) = −4×5 = −20
Niveau Expert — Brevet difficile
Expert Intersection — abscisse #36 ›
f(x) = 2x + 1    g(x) = x + 3
Trouver l'abscisse du point d'intersection.
Résous f(x) = g(x) → 2x + 1 = x + 3
CORRIGÉ
2x + 1 = x + 3 → 2x − x = 3 − 1 → x = 2 → Point (2 ; 5)
Expert Intersection — autre exemple #37 ›
f(x) = 3x − 2    g(x) = x + 4
Trouver l'abscisse du point d'intersection.
CORRIGÉ
3x − 2 = x + 4 → 2x = 6 → x = 3 → Point (3 ; 7)
Expert Intersection — ordonnée #38 ›
f(x) = 2x + 1    g(x) = −x + 7
Quelle est l'ordonnée du point d'intersection ?
Trouve d'abord x (abscisse), puis calcule f(x).
CORRIGÉ
2x+1=−x+7 → 3x=6 → x=2. y = f(2) = 4+1 = 5. Point (2 ; 5).
Expert Problème — coût de taxi #39 ›
Un taxi coûte 2 € par km plus 5 € de prise en charge.
On modélise le coût par C(d) = 2d + 5.
Quel est le coût pour 8 km ?
CORRIGÉ
C(8) = 2×8 + 5 = 16 + 5 = 21 €
Expert Problème — comparaison de tarifs #40 ›
Tarif A : A(x) = 3x + 2
Tarif B : B(x) = 2x + 5
Pour quelle valeur de x les tarifs sont-ils égaux ?
Résous A(x) = B(x)
CORRIGÉ
3x + 2 = 2x + 5 → x = 3. Pour x < 3, B est moins cher. Pour x > 3, A est moins cher.
Expert Égalité de deux fonctions #41 ›
f(x) = −3x + 7    g(x) = 2x − 3
Pour quelle valeur de x a-t-on f(x) = g(x) ?
CORRIGÉ
−3x + 7 = 2x − 3 → 7 + 3 = 2x + 3x → 10 = 5x → x = 2
Expert Troisième intersection #42 ›
f(x) = 2x + 3    g(x) = 5x − 3
Trouver l'abscisse du point d'intersection.
CORRIGÉ
2x + 3 = 5x − 3 → 6 = 3x → x = 2 → Point (2 ; 7)
Expert Problème — piscine #43 ›
Une piscine contient 300 litres. On la vide à raison de 25 litres par minute.
V(t) = 300 − 25t
En combien de minutes la piscine sera-t-elle vide ?
Résoudre V(t) = 0
CORRIGÉ
300 − 25t = 0 → 25t = 300 → t = 12 minutes
Expert Trouver b depuis 2 points #44 ›
Une droite passe par A(1 ; 4) et B(4 ; −2).
Trouver b (l'ordonnée à l'origine).
1) Calcule a = (y₂−y₁)÷(x₂−x₁). 2) Utilise f(1) = 4 pour trouver b.
CORRIGÉ
a = (−2−4)÷(4−1) = −6÷3 = −2. Puis −2×1 + b = 4 → b = 6. f(x) = −2x + 6.
Expert Ordonnée du point d'intersection #45 ›
f(x) = 3x + 2    g(x) = −x + 10
Quelle est l'ordonnée du point d'intersection de ces deux droites ?
1) Résous 3x + 2 = −x + 10 pour trouver x. 2) Calcule f(x) pour l'ordonnée.
CORRIGÉ
3x+2=−x+10 → 4x=8 → x=2. y = f(2) = 3×2+2 = 8. Point (2 ; 8).
Expert Problème — économies #46 ›
Jean gagne 8 € par heure et possède déjà 20 €.
On modélise ses économies par f(h) = 8h + 20.
Combien d'heures doit-il travailler pour avoir 100 € ?
CORRIGÉ
8h + 20 = 100 → 8h = 80 → h = 10 heures
Expert Racine de la fonction #47 ›
f(x) = 2x − 4.
Pour quelle valeur de x la droite coupe-t-elle l'axe des abscisses ?
Résoudre f(x) = 0, car l'axe des abscisses correspond à y = 0.
CORRIGÉ
2x − 4 = 0 → 2x = 4 → x = 2. La droite coupe l'axe des x en (2 ; 0).
Expert Droites parallèles #48 ›
f(x) = ax + 3 est parallèle à g(x) = 5x − 1.
Quelle est la valeur de a ?
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
CORRIGÉ
Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur. Donc a = 5. f(x) = 5x + 3 ∥ g(x) = 5x − 1.
Expert Différence de deux fonctions #49 ›
f(x) = 2x + 1    g(x) = 2x + 5
Quelle est la valeur de f(x) − g(x) pour tout x ?
Calcule (2x + 1) − (2x + 5). Les termes en x s'annulent !
CORRIGÉ
(2x+1)−(2x+5) = −4. La différence est constante : −4. Les droites sont parallèles et toujours distantes de 4 unités.
Expert Trouver b depuis un point #50 ›
f(x) = 3x + b passe par le point (4 ; 10).
Quelle est la valeur de b ?
f(4) = 10 → 3×4 + b = 10
CORRIGÉ
12 + b = 10 → b = −2. Donc f(x) = 3x − 2.
Tableau récapitulatif — Les 3 types
TypeFormeGraphiquePasse par (0;0)?Coefficient
Quelconque f(x) = ... Courbe quelconque Pas forcément Variable
Linéaire f(x) = ax Droite TOUJOURS ✓ a = y ÷ x
Affine f(x) = ax + b Droite Seulement si b = 0 a = Δy ÷ Δx
Variations — résumé
ConditionSens de variationTableau de variation
a > 0 📈 f croissante Valeurs de f augmentent
a < 0 📉 f décroissante Valeurs de f diminuent
a = 0 ➡ f constante f(x) = b pour tout x
Vocabulaire — tout savoir par cœur
TermeDéfinitionExemple
AntécédentLe x qu'on donne à ff(3) = 7 → antécédent de 7 est 3
ImageLe f(x) qu'on obtientf(3) = 7 → image de 3 est 7
Coefficient directeur (a)Pente de la droitef(x) = 3x + 1 → a = 3
Ordonnée à l'origine (b)Où la droite coupe l'axe yf(x) = 3x + 1 → b = 1, point (0;1)
Taux de variation(f(x₂)−f(x₁))÷(x₂−x₁)Toujours = a pour une affine
Racine / zérox tel que f(x) = 0f(x) = 2x−6 → racine : x = 3
IntersectionPoint commun à 2 droitesRésoudre f(x) = g(x)
Droites parallèlesMême coefficient a2x+1 et 2x−3 sont parallèles
Formules clés à mémoriser
f(x) = ax   (linéaire)
f(x) = ax + b   (affine)
a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
Taux de variation = (f(x₂) − f(x₁)) ÷ (x₂ − x₁)
Intersection : résoudre f(x) = g(x)
10 erreurs à NE PAS faire au brevet
1
Confondre image et antécédent (relire attentivement la question)
2
Oublier que f(0) = b (l'ordonnée à l'origine se lit directement)
3
Croire qu'une fonction linéaire peut ne pas passer par (0;0)
4
Inverser la formule du coefficient : a = Δy ÷ Δx, pas Δx ÷ Δy
5
Tracer une droite sans règle (zéro direct au brevet)
6
Mal lire l'échelle du graphique (1 carreau ≠ toujours 1 unité)
7
Oublier de vérifier avec un 3ème point lors du tracé
8
Confondre "f croissante" avec "f(x) > 0" (ce sont deux choses différentes)
9
Ne pas donner une conclusion en français pour les problèmes
10
Oublier d'exprimer b dans une équation type f(x) = ax + b quand on a trouvé a
Méthode — Checklist brevet
✓
Je sais calculer f(x) pour n'importe quelle valeur de x
✓
Je sais résoudre f(x) = k pour trouver un antécédent
✓
Je sais tracer une droite depuis son équation (2 points + règle)
✓
Je sais lire a et b depuis un graphique
✓
Je sais déterminer le sens de variation depuis le signe de a
✓
Je sais trouver l'intersection de deux droites
✓
Je sais modéliser une situation concrète avec une fonction affine