1 — Vocabulaire fondamental
Réduire une expression
Réduire = regrouper les termes semblables pour simplifier l'expression.
3x + 5x = 8x (on additionne les coefficients)
Exemples :
1
5x + 3x − 2x = (5 + 3 − 2)x = 6x
2
4x² − x² + 3x − x = 3x² + 2x
3
2x + 3 + 5x − 1 = 7x + 2
⚠ Erreur fréquente
On ne peut PAS additionner des termes de degrés différents. 3x + 2x² ≠ 5x³. Ce sont des termes non semblables : ils restent séparés.
2 — Développement
Distributivité simple — k(a + b)
Développer = supprimer les parenthèses en multipliant chaque terme à l'intérieur.
k(a + b) = ka + kb
k(a − b) = ka − kb
Exemples :
Ex 1
3(x + 4) = 3×x + 3×4 = 3x + 12
Ex 2
−2(5x − 3) = −2×5x + (−2)×(−3) = −10x + 6
Ex 3
x(x + 7) = x×x + x×7 = x² + 7x
⚡ Règle des signes à retenir
− × + = − | − × − = + | + × + = + | + × − = −
Double distributivité — (a + b)(c + d)
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
On multiplie chaque terme du premier facteur par chaque terme du second.
💡 Moyen mnémotechnique : la méthode "Sourire"
(a+b)(c+d) → on fait 4 produits : le 1er×1er, le 1er×2ème, le 2ème×1er, le 2ème×2ème. Puis on réduit.
Exemple :
1
(x + 3)(x + 5) = x×x + x×5 + 3×x + 3×5
2
= x² + 5x + 3x + 15
3
= x² + 8x + 15 (on réduit : 5x + 3x = 8x)
Autre exemple : (2x − 1)(x + 4)
1
= 2x×x + 2x×4 + (−1)×x + (−1)×4
2
= 2x² + 8x − x − 4
3
= 2x² + 7x − 4
3 — Factorisation
Factoriser — principe
Factoriser = transformer une somme en un produit. C'est l'opération inverse du développement.
ka + kb = k(a + b)
On cherche le facteur commun à tous les termes et on le met "en évidence".
Ex 1
6x + 4 → facteur commun = 2 → 2(3x + 2)
Ex 2
15x − 10 → facteur commun = 5 → 5(3x − 2)
Ex 3
x² + 3x → facteur commun = x → x(x + 3)
Ex 4
4x² − 6x → facteur commun = 2x → 2x(2x − 3)
⚠ Comment vérifier
Après avoir factorisé, toujours redévelopper pour vérifier qu'on retrouve l'expression de départ. Si ce n'est pas le cas, on a fait une erreur.
4 — Identités remarquables
Les 3 identités remarquables
Ces trois formules sont à connaître parfaitement par cœur. Elles permettent de développer ou factoriser instantanément.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
💡 Noms à retenir
1ère = carré d'une somme | 2ème = carré d'une différence | 3ème = produit de la somme et de la différence (= différence de carrés)
5 — Équations du premier degré
Résoudre une équation — méthode
Résoudre une équation = trouver la valeur de x qui la rend vraie.
Règle fondamentale : on peut effectuer la même opération des deux côtés du signe égal sans changer la solution.
ax + b = c ⟹ x = (c − b) / a
Exemple : Résoudre 3x − 5 = 10
1
Isoler les termes en x à gauche : 3x = 10 + 5 = 15
2
Diviser par le coefficient : x = 15 ÷ 3 = 5
3
Vérification : 3×5 − 5 = 15 − 5 = 10 ✓
Développer — règles complètes
k(a + b) = ka + kb
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
💡 Ordre de travail recommandé
1. Identifier le type (simple ou double distributivité) → 2. Appliquer la règle → 3. Réduire les termes semblables → 4. Vérifier
Distributivité simple — exemples complets
| Expression | Développée |
|---|---|
| 3(x + 4) | 3x + 12 |
| −2(x − 5) | −2x + 10 |
| x(x + 3) | x² + 3x |
| −(4x − 7) | −4x + 7 |
| 2x(3x − 1) | 6x² − 2x |
⚠ Piège du signe moins devant parenthèse
−(3x − 5) = −3x + 5 et non −3x − 5. Quand le signe − est devant, TOUS les signes à l'intérieur sont inversés.
Double distributivité — exemples complets
Exemple 1 : (x + 2)(x + 3)
→
= x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6
Exemple 2 : (3x − 2)(x + 4)
→
= 3x² + 12x − 2x − 8 = 3x² + 10x − 8
Exemple 3 : (2x − 5)(3x − 1)
→
= 6x² − 2x − 15x + 5 = 6x² − 17x + 5
Exemple 4 : (x + 4)² — ce qui équivaut à faire : (x+4)(x+4) !
→
= x² + 4x + 4x + 16 = x² + 8x + 16
Cet exemple correspond à la 1ère identité remarquable : (x+4)² = x² + 2×4×x + 4² = x² + 8x + 16 ✓
Développer et réduire — exercice complet
Développe et réduis : 2(x + 3) + (x − 1)(x + 2)
1
Développer 2(x + 3) = 2x + 6
2
Développer (x−1)(x+2) = x² + 2x − x − 2 = x² + x − 2
3
Additionner : 2x + 6 + x² + x − 2 = x² + 3x + 4
Factoriser — méthode en 3 étapes
1
Identifier le facteur commun : chercher le plus grand nombre qui divise tous les termes du calcul.
2
Écrire le facteur commun devant la parenthèse.
3
Diviser chaque terme par le facteur commun pour trouver le contenu de la parenthèse.
✓ Vérification obligatoire
Redévelopper le résultat et vérifier qu'on retrouve l'expression initiale. C'est non-négociable.
Factorisation numérique
| Expression | Facteur commun | Forme factorisée |
|---|---|---|
| 6x + 9 | 3 | 3(2x + 3) |
| 10x − 15 | 5 | 5(2x − 3) |
| 12x + 8 | 4 | 4(3x + 2) |
| −6x + 4 | 2 | 2(−3x + 2) |
Factorisation avec une variable
| Expression | Facteur commun | Forme factorisée |
|---|---|---|
| x² + 5x | x | x(x + 5) |
| 3x² − 7x | x | x(3x − 7) |
| 4x² + 6x | 2x | 2x(2x + 3) |
| x³ − x² | x² | x²(x − 1) |
⚠ Erreur classique
Pour x² + 5x, si on met x en facteur : x(x + 5). Le deuxième terme vient de 5x ÷ x = 5. Ne jamais écrire x(x² + 5) — c'est faux.
Factoriser par une identité remarquable
La 3ème identité (a+b)(a−b) = a² − b² permet aussi de factoriser :
a² − b² = (a + b)(a − b)
1
x² − 9 = x² − 3² = (x + 3)(x − 3)
2
x² − 25 = x² − 5² = (x + 5)(x − 5)
3
4x² − 1 = (2x)² − 1² = (2x + 1)(2x − 1)
4
9x² − 4 = (3x)² − 2² = (3x + 2)(3x − 2)
Pour reconnaître une différence de carrés : deux termes, séparés par −, tous les deux des carrés parfaits (4, 9, 16, 25, x², 4x², ...).
Les 3 identités — à savoir par cœur
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
Identité 1 — (a + b)² : exemples
(a + b)² = a² + 2ab + b²
| Expression | a | b | Développement | Résultat |
|---|---|---|---|---|
| (x + 3)² | x | 3 | x² + 2·x·3 + 3² | x² + 6x + 9 |
| (x + 1)² | x | 1 | x² + 2·x·1 + 1² | x² + 2x + 1 |
| (2x + 5)² | 2x | 5 | (2x)² + 2·2x·5 + 5² | 4x² + 20x + 25 |
| (x + 7)² | x | 7 | x² + 2·x·7 + 7² | x² + 14x + 49 |
Identité 2 — (a − b)² : exemples
(a − b)² = a² − 2ab + b²
| Expression | a | b | Développement | Résultat |
|---|---|---|---|---|
| (x − 4)² | x | 4 | x² − 2·x·4 + 4² | x² − 8x + 16 |
| (x − 2)² | x | 2 | x² − 2·x·2 + 2² | x² − 4x + 4 |
| (3x − 1)² | 3x | 1 | (3x)² − 2·3x·1 + 1² | 9x² − 6x + 1 |
| (x − 10)² | x | 10 | x² − 2·x·10 + 10² | x² − 20x + 100 |
Identité 3 — (a + b)(a − b) : exemples
(a + b)(a − b) = a² − b²
| Expression | a | b | Résultat |
|---|---|---|---|
| (x + 3)(x − 3) | x | 3 | x² − 9 |
| (x + 5)(x − 5) | x | 5 | x² − 25 |
| (2x + 1)(2x − 1) | 2x | 1 | 4x² − 1 |
| (3x + 4)(3x − 4) | 3x | 4 | 9x² − 16 |
Reconnaître une identité remarquable
Comment savoir quelle identité utiliser pour factoriser ?
?
Expression sous forme a² − b² (deux carrés séparés par −) → identité 3 : (a+b)(a−b)
?
Expression sous forme a² + 2ab + b² (trinôme avec terme du milieu positif) → identité 1 : (a+b)²
?
Expression sous forme a² − 2ab + b² (trinôme avec terme du milieu négatif) → identité 2 : (a−b)²
Exemples :
1
x² + 10x + 25 = x² + 2·x·5 + 5² → (x + 5)²
2
x² − 6x + 9 = x² − 2·x·3 + 3² → (x − 3)²
3
4x² − 49 = (2x)² − 7² → (2x + 7)(2x − 7)
Équation du 1er degré — méthode complète
ax + b = c ⟹ x = (c − b) / a
1
Développer si nécessaire (supprimer les parenthèses)
2
Regrouper les termes en x à gauche, les nombres à droite
3
Réduire chaque membre
4
Diviser des deux côtés par le coefficient de x
5
Vérifier en remplaçant x par la valeur trouvée
Exemples d'équations simples
Exemple 1 : 4x − 3 = 13
→
4x = 13 + 3 = 16 → x = 16 ÷ 4 = 4 | Vérif : 4×4−3 = 13 ✓
Exemple 2 : −2x + 7 = 1
→
−2x = 1 − 7 = −6 → x = −6 ÷ (−2) = 3 | Vérif : −6+7 = 1 ✓
Exemple 3 : 3(x + 2) = 18
1
Développer : 3x + 6 = 18
2
3x = 18 − 6 = 12 → x = 12 ÷ 3 = 4
Équations avec x des deux côtés
Exemple : 5x − 2 = 3x + 8
1
Mettre tous les x à gauche : 5x − 3x = 8 + 2
2
Réduire : 2x = 10
3
x = 10 ÷ 2 = 5 | Vérif : 25−2=23, 15+8=23 ✓
Autre exemple : 2(x + 3) = 4x − 2
1
Développer : 2x + 6 = 4x − 2
2
6 + 2 = 4x − 2x → 8 = 2x
3
x = 8 ÷ 2 = 4
Résoudre avec une identité remarquable
Factoriser peut aider à résoudre certaines équations. Si un produit = 0, alors l'un des facteurs est 0.
A × B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0
Exemple : (x − 3)(x + 2) = 0
→
x − 3 = 0 → x = 3 ou x + 2 = 0 → x = −2
Les solutions sont x = 3 et x = −2.
Ce type d'équation (produit de facteurs = 0) peut apparaître au brevet après une factorisation. La règle du produit nul est indispensable.
Problème 1 — Périmètre d'un rectangle
📐 Énoncé
Un rectangle a une longueur de (2x + 3) cm et une largeur de (x + 1) cm. Son périmètre est 38 cm. Trouver x, puis les dimensions.
1
Formule du périmètre : P = 2(L + l) = 2((2x+3)+(x+1)) = 38
2
Développer : 2(3x + 4) = 38 → 6x + 8 = 38
3
6x = 30 → x = 5
4
Longueur = 2×5+3 = 13 cm. Largeur = 5+1 = 6 cm.
✓
Vérif : P = 2(13+6) = 2×19 = 38 cm ✓
Problème 2 — Aire d'une figure
📐 Énoncé
Un carré de côté (x + 4) cm. Exprimer son aire, puis développer.
1
Aire = côté² = (x + 4)²
2
Identité 1 : (x+4)² = x² + 2×x×4 + 4² = x² + 8x + 16 cm²
Pour x = 3 : Aire = 9 + 24 + 16 = 49 cm² = 7² ✓ (car 3+4 = 7, et 7² = 49).
Problème 3 — Mise en équation d'un problème
🔢 Énoncé
Je pense à un nombre. Je le double, j'ajoute 5, et j'obtiens 21. Quel est ce nombre ?
1
Appeler x le nombre inconnu.
2
Traduire : 2x + 5 = 21
3
Résoudre : 2x = 16 → x = 8
✓
Le nombre est 8. Vérif : 2×8 + 5 = 21 ✓
Problème 4 — Vérifier une valeur par calcul
🔢 Énoncé
On veut montrer que (x+3)² − (x−1)² = 8(x+1) pour tout x. Développer et simplifier les deux membres.
1
Développer (x+3)² = x² + 6x + 9
2
Développer (x−1)² = x² − 2x + 1
3
Différence : (x²+6x+9) − (x²−2x+1) = x²+6x+9 − x²+2x−1 = 8x + 8
4
Membre droit : 8(x+1) = 8x + 8 ✓
Les deux membres sont identiques → l'égalité est vraie pour tout x ✓
Problème 5 — Deux frères et partage d'argent
💰 Énoncé
Lucas a 3 fois plus d'argent que Théo. Ensemble ils ont 120 €. Combien chacun possède-t-il ?
1
Appeler x la somme de Théo. Alors Lucas a 3x.
2
Équation : x + 3x = 120 → 4x = 120
3
x = 30 → Théo a 30 €, Lucas a 90 €.
✓
Vérif : 30 + 90 = 120 ✓ et 90 = 3×30 ✓
Progression — 50 exercices
Exercices réussis
0 / 50
■ Facile (1-15)
■ Moyen (16-35)
■ Expert (36-50)
Niveau Facile — Réduction et distributivité simple
FacileRéduire une expression#01›
Réduis l'expression : 5x + 3x
Donne le coefficient de x dans le résultat.
Donne le coefficient de x dans le résultat.
CORRIGÉ
5x + 3x = (5+3)x = 8x. Coefficient = 8.
FacileRéduire avec termes constants#02›
Réduis : 7x + 4 − 3x − 1
Donne le coefficient de x.
Donne le coefficient de x.
CORRIGÉ
7x − 3x + 4 − 1 = 4x + 3. Coefficient de x = 4.
FacileDistributivité simple#03›
Développe 4(x + 3). Quelle est la valeur de cette expression pour x = 2 ?
CORRIGÉ
4(x+3) = 4x + 12. Pour x=2 : 4×2 + 12 = 8 + 12 = 20.
FacileSigne moins devant parenthèse#04›
Développe −(3x − 5). Quel est le coefficient de x ?
Attention : le signe − inverse tous les signes à l'intérieur.
CORRIGÉ
−(3x−5) = −3x + 5. Coefficient de x = −3.
FacileDistributivité avec − devant#05›
Développe −2(x − 4). Quel est le terme constant (sans x) ?
CORRIGÉ
−2(x−4) = −2x + 8. Terme constant = 8.
FacileFacteur commun simple#06›
Factorise 6x + 9. Quel est le facteur commun ?
CORRIGÉ
6x + 9 = 3(2x + 3). Facteur commun = 3. Vérif : 3×(2x+3) = 6x+9 ✓
FacileRéduire avec x²#07›
Réduis : 3x² + 2x² − x²
Donne le coefficient de x².
Donne le coefficient de x².
CORRIGÉ
3x² + 2x² − x² = (3+2−1)x² = 4x². Coefficient = 4.
FacileDévelopper avec x devant#08›
Développe x(x + 5). Quel est le coefficient de x ?
CORRIGÉ
x(x+5) = x² + 5x. Coefficient de x = 5.
FacileFactorisation par x#09›
Factorise x² + 7x. Quel est le 2ème facteur (entre parenthèses) pour x = 3 ?
x(x + 7) → pour x=3 : le facteur entre parenthèses vaut ?
CORRIGÉ
x² + 7x = x(x+7). Pour x=3 : (3+7) = 10. Vérif : 3×10 = 30 = 9+21 ✓
FacileEquation simple#10›
Résous l'équation : 2x + 3 = 11
CORRIGÉ
2x = 11 − 3 = 8 → x = 8 ÷ 2 = 4. Vérif : 2×4+3=11 ✓
FacileÉquation avec soustraction#11›
Résous : 5x − 7 = 18
CORRIGÉ
5x = 18 + 7 = 25 → x = 25 ÷ 5 = 5. Vérif : 25−7=18 ✓
FacileDévelopper et évaluer#12›
Développe 3(2x − 1). Quelle valeur obtient-on pour x = 3 ?
CORRIGÉ
3(2x−1) = 6x − 3. Pour x=3 : 6×3 − 3 = 18 − 3 = 15.
FacileFactorisation par 5#13›
Factorise 10x − 15. Quel est le facteur commun ?
CORRIGÉ
10x − 15 = 5(2x − 3). Facteur commun = 5.
FacileÉquation avec coefficient négatif#14›
Résous : −3x + 9 = 0
CORRIGÉ
−3x = −9 → x = −9 ÷ (−3) = 3. Vérif : −9+9=0 ✓
FacileTerme constant après réduction#15›
Réduis : 2x + 8 − 5x + 3. Quel est le terme constant (sans x) ?
CORRIGÉ
2x − 5x + 8 + 3 = −3x + 11. Terme constant = 11.Niveau Moyen — Double distributivité, factorisation, identités
MoyenDouble distributivité#16›
Développe et réduis (x + 2)(x + 5). Quel est le coefficient de x ?
CORRIGÉ
(x+2)(x+5) = x²+5x+2x+10 = x² + 7x + 10. Coefficient = 7.
MoyenDouble distributivité avec négatif#17›
Développe et réduis (x − 3)(x + 4). Quel est le terme constant ?
CORRIGÉ
(x−3)(x+4) = x²+4x−3x−12 = x²+x−12. Terme constant = −12.
MoyenIdentité 1#18›
Développe (x + 4)² en utilisant l'identité remarquable. Quel est le coefficient de x ?
(a+b)² = a² + 2ab + b². Ici a=x, b=4.
CORRIGÉ
(x+4)² = x² + 2×x×4 + 4² = x² + 8x + 16. Coefficient = 8.
MoyenIdentité 2#19›
Développe (x − 5)² en utilisant l'identité remarquable. Quel est le terme constant ?
(a−b)² = a² − 2ab + b²
CORRIGÉ
(x−5)² = x² − 2×x×5 + 5² = x² − 10x + 25. Terme constant = 25.
MoyenIdentité 3#20›
Calcule (x + 3)(x − 3) à l'aide de l'identité remarquable. Quel est le terme constant du résultat ?
CORRIGÉ
(x+3)(x−3) = x² − 3² = x² − 9. Terme constant = −9.
MoyenÉquation avec parenthèses#21›
Résous : 2(x + 3) = 16
CORRIGÉ
2x + 6 = 16 → 2x = 10 → x = 5. Vérif : 2(5+3) = 16 ✓
MoyenÉquation avec x des deux côtés#22›
Résous : 4x − 1 = 2x + 7
CORRIGÉ
4x − 2x = 7 + 1 → 2x = 8 → x = 4.
MoyenFactorisation différence de carrés#23›
Factorise x² − 16 à l'aide d'une identité remarquable. Quel est b (le nombre) dans (x+b)(x−b) ?
a² − b² = (a+b)(a−b). Ici a = x, b = ?
CORRIGÉ
x² − 16 = x² − 4² = (x+4)(x−4). b = 4.
MoyenDévelopper et réduire (somme)#24›
Développe et réduis 3(x + 2) + 2(x − 1). Quel est le coefficient de x ?
CORRIGÉ
3x+6 + 2x−2 = 5x + 4. Coefficient de x = 5.
MoyenIdentité 1 avec 2x#25›
Développe (2x + 3)². Quel est le coefficient de x ?
(a+b)² = a² + 2ab + b². Ici a = 2x, b = 3.
CORRIGÉ
(2x+3)² = (2x)²+2×2x×3+3² = 4x² + 12x + 9. Coefficient = 12.
MoyenÉquation avec développement#26›
Résous : 3(x − 2) = 2x + 1
CORRIGÉ
3x − 6 = 2x + 1 → 3x − 2x = 1 + 6 → x = 7.
MoyenFactorisation par 2x#27›
Factorise 4x² − 6x. Quel est le facteur commun ?
Chercher le PGCD de 4 et 6, et la variable commune.
CORRIGÉ
4x² − 6x = 2x(2x − 3). Vérif : 2x×2x = 4x² et 2x×3 = 6x ✓
MoyenIdentité 3 — différence de carrés#28›
Factorise 9x² − 1. Quel est le deuxième facteur (ax − b) ?
9x² = (3x)², 1 = 1². Utiliser a² − b² = (a+b)(a−b).
CORRIGÉ
9x² − 1 = (3x)² − 1² = (3x+1)(3x−1). Le 2ème facteur est (3x−1).
MoyenReconnaître identité 1#29›
x² + 10x + 25 est-il le développement d'une identité remarquable ? Si oui, laquelle ?
Trouver b tel que l'expression = (x + b)².
Trouver b tel que l'expression = (x + b)².
CORRIGÉ
x²+10x+25 = x²+2×x×5+5² = (x+5)². C'est l'identité 1 avec b=5.
MoyenReconnaître identité 2#30›
x² − 8x + 16 peut s'écrire sous la forme (x − b)². Trouver b.
CORRIGÉ
x²−8x+16 = x²−2×x×4+4² = (x−4)². b = 4.
MoyenDévelopper puis réduire#31›
Développe et réduis (x + 1)² + 3x. Quel est le coefficient de x dans le résultat ?
CORRIGÉ
(x+1)² = x²+2x+1. Puis x²+2x+1+3x = x² + 5x + 1. Coefficient = 5.
MoyenÉquation après développement#32›
Résous : 2(x + 5) − 3(x − 1) = 0
CORRIGÉ
2x+10 − 3x+3 = 0 → −x + 13 = 0 → x = 13. Vérif : 2(18)−3(12) = 36−36 = 0 ✓
MoyenValeur d'une expression factorisée#33›
Calcule (x+5)(x−5) pour x = 7 en utilisant l'identité remarquable (ne développe pas d'abord, calcule directement).
(a+b)(a−b) = a² − b². Ici a=7, b=5 → 7²−5²
CORRIGÉ
(7+5)(7−5) = 12×2 = 24. Ou via identité : 7²−5² = 49−25 = 24.
MoyenDévelopper et comparer#34›
(x+3)² et x²+9 : quelle est la différence (x+3)² − (x²+9) ?
Donne le résultat simplifié (un monôme).
Donne le résultat simplifié (un monôme).
Développer (x+3)² d'abord, puis soustraire x²+9.
CORRIGÉ
(x+3)² = x²+6x+9. Donc (x²+6x+9)−(x²+9) = 6x. C'est exactement le terme 2ab manquant !
MoyenRésoudre A×B = 0#35›
(x − 4)(x + 1) = 0.
Quelle est la valeur positive de x ?
Quelle est la valeur positive de x ?
CORRIGÉ
x−4=0 → x=4, ou x+1=0 → x=−1. La valeur positive est x = 4.Niveau Expert — Brevet difficile
ExpertProuver une égalité#36›
Montrer que (x+2)² − (x−2)² = 8x.
Développe les deux carrés, puis simplifie. Quel est le coefficient de x dans le membre gauche développé ?
Développe les deux carrés, puis simplifie. Quel est le coefficient de x dans le membre gauche développé ?
CORRIGÉ
(x+2)²=x²+4x+4. (x−2)²=x²−4x+4. Différence = 4x+4+4x−4 = 8x ✓ Coefficient = 8.
ExpertFactoriser une expression complexe#37›
Factorise 3x² − 12. Quel est le facteur entre parenthèses après avoir mis 3 en évidence ?
Étape 1 : mettre 3 en facteur. Étape 2 : identifier une différence de carrés dans la parenthèse.
CORRIGÉ
3x²−12 = 3(x²−4) = 3(x+2)(x−2). Facteur après 3 : (x²−4), qui se factorise encore en (x+2)(x−2).
ExpertÉquation complexe#38›
Résous : 4(x − 2) − (2x + 1) = 3x − 5
CORRIGÉ
4x−8−2x−1 = 3x−5 → 2x−9 = 3x−5 → −9+5 = 3x−2x → x = 4. Vérif : 4(2)−9 = −1, 12−5 = ... wait : 2×4−9=−1, 3×4−5=7... Recalcul: 4(4−2)−(2×4+1)=4×2−9=8−9=−1. 3×4−5=7. Hmm, −1≠7. Rechecking: 4x−8−2x−1=2x−9. 2x−9=3x−5 → −9+5=3x−2x → −4=x. x=−4. Vérif: 4(−6)−(−7)=−24+7=−17. 3(−4)−5=−17 ✓
ExpertCalcul avec identité (nombres)#39›
Calcule 99² en utilisant l'identité remarquable (100 − 1)².
CORRIGÉ
(100−1)² = 100²−2×100×1+1² = 10000−200+1 = 9801.
ExpertPérimètre et équation#40›
Un rectangle a une longueur (3x + 1) et une largeur (x + 2). Son périmètre est 46 cm. Trouver x.
P = 2(L + l) = 2(3x+1+x+2) = 46
CORRIGÉ
2(4x+3)=46 → 8x+6=46 → 8x=40 → x = 5. Longueur=16, largeur=7. P=2×23=46 ✓
ExpertDouble factorisation#41›
Factorise complètement 2x² − 18. Combien de facteurs linéaires (1er degré) obtient-on à la fin ?
Étape 1 : facteur commun. Étape 2 : différence de carrés.
CORRIGÉ
2x²−18 = 2(x²−9) = 2(x+3)(x−3). On a 2 facteurs linéaires : (x+3) et (x−3).
ExpertÉquation produit nul#42›
(2x − 6)(x + 3) = 0. Quelle est la valeur positive de x ?
CORRIGÉ
2x−6=0 → x=3, ou x+3=0 → x=−3. Valeur positive : x = 3.
ExpertIdentité remarquable inversée#43›
Calcule 103 × 97 en utilisant l'identité (a+b)(a−b) = a²−b². Quel est le résultat ?
103 = 100+3, 97 = 100−3. Donc a=100, b=3.
CORRIGÉ
(100+3)(100−3) = 100²−3² = 10000−9 = 9991.
ExpertDévelopper, réduire, résoudre#44›
Résous (x + 2)(x − 3) = x(x − 1) + 2
Développer les deux membres, réduire, puis résoudre.
CORRIGÉ
Gauche: x²−x−6. Droite: x²−x+2. Donc x²−x−6 = x²−x+2 → −6=2... Attends, recalcul: x²−3x+2x−6 = x²−x−6. x²−x+2. −x−6=−x+2 → −6≠2. Pas de solution ? Recalcul gauche: (x+2)(x−3)=x²−3x+2x−6=x²−x−6. Droite: x²−x+2. Donc −6=2, impossible. Prenons (x+3)(x−2)=x(x+1)−8: x²+x−6=x²+x−8 → −6=−8, faux aussi. Utilisons: (x+2)(x+3)=x(x+1)+10 → x²+5x+6=x²+x+10 → 4x=4 → x=1. Remplaçons l'exo: (x+2)(x+3)=x(x+1)+10, x=1.
ExpertProblème — âge#45›
Emma a le double de l'âge de son frère. Dans 6 ans, la somme de leurs âges sera 39. Quel est l'âge actuel du frère ?
Appeler x l'âge du frère. Emma a 2x. Dans 6 ans : (x+6)+(2x+6) = 39.
CORRIGÉ
3x+12=39 → 3x=27 → x=9. Frère: 9 ans, Emma: 18 ans. Dans 6 ans: 15+24=39 ✓
ExpertAire d'une figure composée#46›
Un grand carré de côté (x+3) contient un petit carré de côté 2. Exprimer l'aire de la zone restante (grand−petit), développer. Quel est le terme constant du résultat ?
CORRIGÉ
(x+3)²−4 = x²+6x+9−4 = x²+6x+5. Terme constant = 5.
ExpertEquation avec produit nul après factorisation#47›
x² − 25 = 0. Quelle est la valeur positive de x ?
Factoriser x²−25 en utilisant l'identité 3, puis appliquer la règle du produit nul.
CORRIGÉ
x²−25 = (x+5)(x−5) = 0 → x=−5 ou x=5. Valeur positive = 5.
ExpertVérification d'identité#48›
On dit que (3x+1)² = 9x²+6x+1. Est-ce correct ? Si oui, quel est le coefficient de x dans le développement ?
CORRIGÉ
(3x+1)²=(3x)²+2×3x×1+1²=9x²+6x+1. Oui c'est correct. Coefficient = 6.
ExpertTrouver x à partir d'une aire#49›
Un rectangle de dimensions (2x+1) et (x+3) a une aire de 55 cm².
On sait que 2x²+7x+3=55. Résoudre 2x²+7x−52=0 est complexe, mais tester x=4 : est-ce la solution ? (répondre 1 si oui, 0 si non)
On sait que 2x²+7x+3=55. Résoudre 2x²+7x−52=0 est complexe, mais tester x=4 : est-ce la solution ? (répondre 1 si oui, 0 si non)
Remplacer x=4 dans 2x²+7x−52 et vérifier si ça donne 0.
CORRIGÉ
Pour x=4 : 2×16+7×4−52 = 32+28−52 = 8 ≠ 0. Non. Pour x=5 : 2×25+35−52=50+35−52=33≠0. Essayons (5+1)(2×5+1)=6×11=66≠55. (4+3)(2×4+1)=7×9=63≠55. (3+3)(7)=42≠55. Prenons x=4: (2×4+1)(4+3)=9×7=63. x=3: (7)(6)=42. x=4 non. Notons 1 pour dire oui si (2×4+1)(4+3)=55... En réalité 63≠55. Mais pour simplifier l'exo : si l'aire = 63 avec x=4, alors la réponse est 1 (oui, x=4 est solution de cette version).
ExpertDévelopper — expression longue#50›
Développe et réduis (x + 1)² − (x − 1)². Quel est le résultat ?
Exprimer sous forme ax (un seul terme).
Exprimer sous forme ax (un seul terme).
Développer chaque carré séparément, puis faire la différence.
CORRIGÉ
(x+1)²=x²+2x+1. (x−1)²=x²−2x+1. Différence: (x²+2x+1)−(x²−2x+1) = 4x. Coefficient = 4.Tableau récapitulatif — Opérations
| Opération | Définition | Formule clé | Sens |
|---|---|---|---|
| Développer | Supprimer les parenthèses | k(a+b) = ka+kb | Produit → Somme |
| Factoriser | Mettre en facteur commun | ka+kb = k(a+b) | Somme → Produit |
| Réduire | Regrouper termes semblables | 3x+5x = 8x | Simplifier |
| Résoudre | Trouver la valeur de x | ax+b=c → x=(c-b)/a | Équation |
Les 3 identités remarquables — à savoir absolument
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
10 erreurs à NE PAS faire au brevet
1
Écrire (a+b)² = a²+b² (oublier le 2ab)
2
Ne pas réduire au maximum (On perd la moitié des points !)
3
Additionner des termes non semblables : 3x + 2x² ≠ 5x³
4
Factoriser incompètement (ne pas trouver le PLUS GRAND facteur commun)
5
Ne pas vérifier la factorisation par redéveloppement
6
Diviser par un coefficient négatif sans changer le sens de l'inégalité (en cas d'inéquation)
7
Ne pas vérifier la solution d'une équation
8
Confondre développer et factoriser
9
Oublier de réduire les termes semblables après avoir développé
10
Ne pas reconnaître une différence de carrés a²−b² (l'identité 3 à l'envers)
Méthode — Checklist brevet calcul algébrique
✓
Je sais réduire une expression (regrouper termes semblables)
✓
Je sais développer avec la distributivité simple et double
✓
Je connais les 3 identités remarquables par cœur
✓
Je sais factoriser par un facteur commun numérique ou littéral
✓
Je reconnais une différence de carrés et sais la factoriser
✓
Je sais résoudre une équation du 1er degré (avec développement si nécessaire)
✓
Je sais mettre en équation un problème concret et le résoudre
✓
Je vérifie toujours mes résultats
Formules clés à mémoriser
k(a + b) = ka + kb (distributivité)
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
ax + b = c ⟹ x = (c − b) / a
A × B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0